COMPOSITION FRANÇAISE

VArt de la Guerre,

Malgré les réclamations, d'ailleurs fort louables , de la philanthropie , l'art de la guerre fait tous les jours de nouveaux progrès : les machines de destruction , les moyens d'attaque et de défense, la tactique, se perfectionnent en même temps que la civilisation elle-même. Les sciences militaires sont aussi avancées que la plupart des autres sciences, et sont cultivées avec un soin tout particulier par les nations les plus éclairées.

Il en a été de même à toutes les époques. Les peuples les plus illustres et les plus puissants de Tantiquité ont été les plus savants dans l'art de la guerre : les Grecs, les Romains. Les grands hommes , dont le nom est le plus célèbre, sont les guerriers etles conquérants, Alexandre, César, etc.

Sans doute il faut souhaiter qu'un temps vienne où. toute rivalité hostile cessant entre les peuples, la guerre soit désormais inutile-, mais, jusqu'à ce moment, il faut cultiver l'art de la guerre, sous peine d'être anéanti à la première collision par les nations voisines.

Note, Le tribunal /:>o<e/if7e/ de l'abbé de Saint-Pierre, très-praticable, rendrait les guerres européennes impossibles. Les congrès préludent à ce tribunal. Tm.

9, Soit

( ^99 ) DISGRININANTS

(TOir p. S49).

U =r ax^-f. 2 bxy H- cj^

Égalons à zéro les deux dérivées par rapport à jcr et par rapport à j^, on a

ax -h è/ = G)

bx + CX =o^

éliminant les variables, on trouve

ac — b^z= o.

Celte quantité ac — fr* est dite le dhcriminant de la fonction U', on voit que le discriminant est aussi un invariant cleU(p. 254).

C'est celui qui donne V espèce dans les coniques.

2\ U = («, b, c, d, e,f) {x,yy z)^

les trois dérivées sont

ax -^rfy + ^2 = 0^

ex -i- dy -+- cgi s^ o 'y éliminant , on trouve

abc-^-zdef — ad^ — be^ — e/^ = o'y

c'est le discriminant de la fonction U, c'est aussi Tiuva*riant (p. 254) 5 par des relations d'identité ce discriminant et ses dérivées donnent la discussion complète et les propriétés fondamentales des coniques, et cela existe aussi pour des lignes de degré supérieur (n*' 7).

3^ U = («,/;,c,rf)(.r,r)^;

( 3oo ) les dérivées sont

ô.r*-+- 2 cxy -f- flfj' = o ;

l'élimination donne

[ad — ôc)»— 4 ( ^'— £ic) (c»— ^^) = o ;

c'est le discriminant de la fonction U, et c'est aussi un invariant.

Nous allons démontrer que tout discriminant est ud invariant : par conséquent , la recherche des invariants se ramène à cette élimination *, mais cette démonstration exige quelques préparations.

Relations entre les coefficients d*une équation homogène et ses racines,

U = (ao,fli,«2, .. .,£!,)(•»» /)"=o.

Soient

Xi yt JTn

les n racines de cette équation \ le produit des n facteurs est

\y Xi) \x xJ ' " \x Xn) '

ou bien , en étant les diviseurs ,

(XxX -^ Xt X){X^^ — ^^X)' "iXn^ —^nX)'

Comparant cette équation à U, on trouve

^0 = ^ 1 ^2 ^3 Xn^

«;, = (— l)'»J?,J?a 0:3. . ,Xn.

1 1 . Problème. Exprimer le discriminant d'un quantic en fonction des racines de ce quantic.

(àoi )

Solution.

la propriété des équations homogènes donne