TT ^ ^U

par conséquent, les racines communes a U et a -j- annulent aussi -7- • Ces racines communes sont donc celles du dy

discriminant: or lar racine — de U, substituée dans -p-?

yx dx

donne pour résultat

la racine ~ de U donne, par une semblable substitution,

Le produit suivant donne toutes les racines communes à U

et a -— , dx

et divisant par J^i y» • • • Yn- On a pour discringtinant

(x.T-»— J-, X2)«(X, Jj^/^Xa)^. . . =0;

c'est le discriminant de U.

Si nous faisons partout les y égaux à Tunité, on voit que le discriminant est le dernier terme de l'équation aux carrés des différences des racines de

U=(ffe, <ï.,«2,.. •,On){'r., î)",

théorème connu • ^

12. Théorème. Pour tout quautic binaire le discriminant est un ini^ariant.

Démonstration, Même notation que ci-dessus (n° H ).

U étant transformé en Ui par le remplacement de a^x-^-^^y pour X et a^x-\-^^Y pour j^. le facteur ocy^ — jXi devient

ainsi

X,==— (P. r« — Pa-^i)? Y, = a, 7, — aï a:,;

de même ,

X2 = — (Pi ^2— pj-î^a), Y2=a,j2 — aaOTa;

(X,Y2— Y.X2)^=(a,p2-a2p,)M•^^r^~r.^0'• Le discriminant de la transformée Ui est donc égal à la fonction U multipliée par une puissance du module; ce discriminant est donc une fonction de coefficient de U| égale à une fonction semblable de coefficient de U multipliée par une puissance du module. Ce discriminant est donc un invariant de U.

13. Théorème. Lç discriminant d'un cpoLamûc renfermant un nombre quelconque de variables est un invariant.

Démonstration, Soit

un quantic à n variables et avec des coefficients représentés par des a avec divers indices. Soit

le discriminant de U , obtenu comme il a été dit ci-dessus, par élimination, et qui sera une fonction entière des fl Soit

( 3o3 ) la fonction U, linéairement transformée-, les a seront remplacés par des A , et soit Ai = q> le discriminant de U, ; on déduit Aj de A en remplaçant dans A les a par des A.

Supposons que U renferme un facteur multiple y ce facteur existera dans toutes les dérivées de U par rapport aux variables, et, par conséquent, en ce cas le discriminant A s'évanouira identiquement; mais dans la même hypothèse Ui contiendra aussi un facteur multiple, et, par conséquent, Aj doit aussi s évanouir identiquement ; il faut donc que A et Ai puissent s'évanouir simultanément; l'un doit être un facteur de l'autre, et, par conséquent , A est un invariant.