So\l\e quantic
{a.yŒ^^a^y as, a,)[x, ^)< = o,
ayant pour racines — ^—^ — > — correspondant aux ra- ^ ^ Xx y:, r, J4 ^
cines ordinaires a^^^y^à.
Si l'on a une fonction symétrique de ces racines a , (3 ,
7, (ï, telles, que chaque terme renferme les quantités a ,
/3, y, d un même nombre de fois, la somme de cette fonction
exprimée en fonction des coefficients de l'équation est un
invariant ; car chaque terme est un produit de facteurs de la
forme Xx yt — /i a:,, le tîout divisé par le produit jij)^jj^3 y^^
c'est-à-dire par a^\ par conséquent, d*après le théorème
dun** 12, c'est un invariant. Cela n'aurait pas lieu si les
racines ne se trouvaient pas dans chaque terme. Exemple ;
soit la fonction symétrique ^ (* — P)* (7 — ^Y\ remplaçant par les formes en x et j^, on aura
'¥■\:e^yz—y^^^y{r'ly^ — y^^^Y j =^['^a\---^a,a,-\^ a,a^
{ 3o4 ) ce qui donne un invariant; mais
2(«-p)'=(«-P)'+(«-7?+{«-*)'-J-(P-7)' + [p-S)'+(',-Sy; remplaçant, on trouve
ce qui ne donne plus un invariant pour le sextic
la fonction symétrique
nVst plus un invariant, mais bien
On peut donc trouver une infinité d'invariants ; la fonction
n'est pas un invariant, car a s'y trouve trois fois et (3 deux fois seulement.
15. Il y a donc une infinité d'invariants. Tout discriminant est un invariant , mais tout invariant n'est pas un discriminant; nous verrons qu'il y a encore d'autres méthodes, et bien moins pénibles , de trouver des invariants.
L'excellent et indispensable travail de M. Painvin sur les surfaces quadratiques montre que la discussion complète et les principales propriétés de ce» surfaces découlent du discriminant de la fonction quaternaire quadratique el de ses diverses dérivées ; ce qui a probablement lieu pour les surfaces d'ordre supérieur.
( 3o5 ) QUESTIONS D EXAMEN (fiCOLE POLYTECHNOUE)
1. Déterminer le lieu géométrique des milieux des cordes d'une surface du second degré
qui passent par un point donné (x\y, z').
L'une quelconque de ces cordes a pour équations
L'équation du plan diamétral qui la divise en deux parties égales est
Donc, si Ton élimine m et n entre (a), (3) et (4), on aura Téquation du lieu géométrique cherché. L'élimination donn^ immédiatement
On voit que ce lieu est une surface semblable à la sur* face considérée (i),/(a:,j^, ;j) = o, semblablement placée , et qui passe par le point donné [x'^y\ z').
Les points communs aux surfaces (i) et (5) appartiennent au plan représenté par Féquation
qui est, comme ou sait, du premier degré.
Ànn. de Mathém., t. XVill. (Août iSSg.) 20
( 3o6 ) 2. Par un point (x\y, z') de Vhyperboloïde
on mène deux génératrices rectilignes de la surface y trouifer l'équation du plan de ces deux droites. En posant
et
fl c a c ^ 0
Téquation (i) de Thyperboloïde devient
(4) MN = M'N', et l'on a
(5) mnz=::m'n',
puisque le point {x\y\ z') est à la surface.
Les équations de l'une des deux génératrices menées par
ce point sont
(6) Mrt==M'/î',
(7) N« = N'iw'.
L'autre génératrice a pour équations
(9) Nm=:M'/î'.
En additionnant (6) et (7), ou (8) et (9), il vient
(10) M«-f.Nm = M'/i'-f-N'/w'j
(3o7) celte dernière équation représente évidemment le plan des deux génératrices.
Si l'on remplace dans (lo), M, N, M', N' par leurs expressions (a), on a d'abord
OU
Mais, d'après les relations (3)9 on a
(/i-h»i) = , (ni'— /i')==-f-, (/i— ./») = ,
n!-\- m' zzz i\ donc
xjf " jy zz'
est Téquation demandée.
Remarque. On résoudra la même questioit pour le paraboloïde — — ^^ = 2 z , en remarquant que , dans ce cas,
«=— -Hî^, /i=: — — ~, m'=22', /i'= i;
l'équation (10) devient alors
ou
Mais
on a donc
pour Inéquation du plan des deux génératrices rectilignes du paraboloïde. G.
NOTE SUR LA THÉORIE BES POLAIRES RfifilPROWES,
Par m. a. MANJNHEIM.
Étant donnés une conique M y un point d et sa folaire F par rapport à M ; trousser un cercle directeur de centre o tel , que la polaire réciproque de M ait pour foyer le pôle de F par rapport à o^ et par suite pour directrice la polaire de d par rapport à la même courbe.
Prenons sur F des points conjugués aeib^a^ ei i^ etc. ; on sait que ces points sont en involution.
Par suite, si sur ab ^ a'Vy etc., comme diamètre on décrit des circonférences, celles-ci se coupent en deus points fixes ; ces deux points sont les centres des cercles directeurs demandés.
Désignons par o l'un de ces centres et par /le point où la ligne orf coupe F. Joignons le point / au point f où û^ coupe M*, soit g le point où la ligne It coupe oa\ on a toujours, quel que soit le point a et par suite le point ':
sin . aot
—, r = cens t. ,
sin . toi
=: CODSt.
og oa
(3o9) D'après celle dernière équation , le point g décrit une conique qui a pour foyer le point o, pour directrice la droite F, et que nous désignerons par N. La tangente en g à cette conique passe par b ; on voit donc que le point / est un centre d'homologie de N et de M , et que F est Taxe d'homologie.
Nous sommes arrivés à la conique N en partant de M-, on peut faire l'inverse en se donnant la conique N, son foyer o , sa directrice F et un point quelconque d.
Pour vérifier les résultats que nous avons énoncés dans cette Note , il suffit de les transformer au moyen de la théorie des polaires , en prenant pour courbe directrice un cercle décrit du point o comme centre.
On retrouvera ainsi les théorèmes connus, que nous avons primitivement choisis , et d'où nous sommes partis pour arriver à la solution précédente.
Nous ferons remarquer, en terminant, que pour obtenir des propriétés de la droite F, il suffit de transformel des propriétés du foyer d'une conique.
Ainsi, par exemple : Deux tangentes fixes d^une conique interceptent 9 sur une tangente mobile, un segment qui est toujours vu du foyer sous un angle constant^ ou en déduit que, si Von joint deux points fixes de M à un point quelconque de cette courbe , on obtient deux droites qui interceptent sur¥ un segment qui est tou-* jours vu du point o sous un angle constant.
(3io)
