SUR LES LIMITKS DES RACINES

Par m. TOUSSAINT,

Professeur au lycée de Caen.

Dans le numéro du mois de juin des Annales y on lit une Note relative à la limite supérieure des racines n^atires, déduite de la formule aux différences de Newton; voici quelques observations qui me paraissent propres à compléter cette théorie.

Prenons un exeniple particulier : soit à traiter ré(juation

Je vais démontrer que lorsqu^on est arrivé à un nombre iTo tel , que u et toutes les différences écrites sur une même ligne horizontale soient alternativement positives et négatives , ce nombre sera une limite inférieure des racines de Téquation. Il suffit pour cela de faire voir que pour toute valeur de x moindre que j:© , telle que or© — /, le premier membre ne peut plus changer de signe.

Pour cela , je reprends la fonction

posons Tacçroissement x — x^ /, et au lieu de w, écrivons

{3n ) /(j:)ou, commex = Xo + y, /(ar,+j),il\ient

Changeons y gvl — y, il vient

/(..-^) =/(..) -Ja/(..) -h^(Jh..) ^) -... .

Les coefficients des termes de ce polynôme sont alterna* tivement positifs et négatifs, mais comme les quantités f[Xo)^ A/(j:o)j ^'/(jco)? . . . sont aussi alternativement positives et négatives , il en résulte que tous les termes de ce développement auront le même signe; donc f(xii — j) ne peut plus devenir nul. Donc. . . .

Le Programme de Mathématiques spéciales énonce le théorème suivant :

Si la differenceYk et les quantités Wfi ^ Auo, A*Uo...A'"Uo sont positives^ Xo-f- (m — i) h est une limite supérieure des racines positii^es de V équation f (x) = o.

Ce théorème donne une limite supérieure trop éloignée ; il est facile d'en établir une qui est généralement beaucoup plus rapprochée. Voici comment :

Si Ton arrive à un nombre Xo tel , que la valeur de u , la valeur de û précédente d'un rang , celle de ù? en remontant encore d'un rang, et ainsi de suite, soient toutes de même signe, ce nombre sera une limite supérieure de Féquation.

Pour le démontrer, je représente par ù! les différences correspondantes non plus à un accroissement A, mais à un accroissement — h ; de sorte que

/(:ro-A)-/(x.)=:Ay(a;.);

dansy (xo-f-j^) je change A en — A , et je remplace alors les A par des A' ; il vient

/(..-H^)=/(..)-^V/(...)+i(^-.)^-2Z(fO...,

(3i2) les coefficients sont alternativement positifs et n^atifs. Exprimons maintenant les ù! en fonction de A ^ or on a

Ceci nous montre que , pour avoir la différence en A' d'une fonction, il faut prendre la diiférence en û de cette fonction , y remplacer j?o par ^o — h^et changer son signe. Or^ si l'on remarque que ,

que

et qu'on applique la loi ci-dessus , on aura

A'/(a:,)=:— A/(x.-A), AV(^o) = A»/(^.-2^),

en substituant dans le développement, il vient

/(,.+^)=/w+îv(-.-«)+i(f+.)i:iïï^

Les coefficients sont tous positifs^ or nous supposons que f{xp)^ A/(xo — A), A*/(xo — 2 A). . . sont tous aussi de même signe : donc /(j^oH-y) ne peut pas être nul, quelque valeur qu'on attribue à y. Donc Xq est une limite supérieure des racines de l'équation.

En appliquant ceci à l'équation ci-dessus , nous aurons pourlinûte inférieure des racines, — i, et pour limite supérieure , + 2 9 le théorème du programme nous aurait donné 4 pour limite supérieure.

Je terminerai cette petite Note en établissant une formule symbolique très-facile à retenir, et qui permet de

( 3i3 ) calculer les différences correspondantes à un intervalle A' de la variable en fonction des diflérences correspondantes à un intervalle h. Nous avons

Soit d, 3', . . . les différences correspondantes à l'intervalle h' de la variable; on aura

ou bien , symboliquement ,

Appliquons cette formule non plus à i/q , mais à la fonction (îi/o , nous aurons

et ainsi de suite, on a généralement la formule symbolique

Dans le cas ordinaire -r- = — <»

h lo

et l'on a

^«.=:L(l-4-A)'o«,Jiro,

formule que les élèves retiennent facilement. On ne prend que les termes du développement dans lesquels l'indice À ne dépasse pas le degré de 1 equalion que Ton traite, puisque si Téquation est du degré m , les différences d'un ordre supérieur à m sont nulles.

RECTIFICATION DUN THÉORfiHE DB NH. STEINBR ET DEWULF^

Par le Rév. G. SALMON.

Dans le dernier numéro des Nouvelles Annales, p. 179, M. Dewulf donne ce théorème, qu'il attribue à M. Steiner:

Le lieu des sommets des angles droits circonscrit s àme €ourbe de la classe n est une courbe de degré n*.

Remarquons cependant que dans le cas où /* = 2, le lieu n'est pas du degré (w* = ) 4^, mais seulement du second degré. De plus , si la courbe donnée est une parabole, le lieu est une ligne droite.

C'est ce que M. Terquem a remarqué 5 il dit dans une note : <( Dans les coniques , ce lieu est un cercle double. »

Mais pourquoi double? ( Foir Note finale. )

Pour moi , je ne vois pas pourquoi.

Cela m'a donné de graves soupçons que le théorème énoncé n'était pas exact.

Voyons donc la démonstration de M. Dewulf. Il réduit le problème à l'élimination de p^^ q^^ p^^ qt entre les cinq équations

/'l/»2 + îl?J = 0,

Il dit que <( les équations 4 ? 5 sont du degré n , les trois

(3i5) autres du premier degré. D'après le Uiéorème de Bezout, Téquation finale sera du degré n}, »

Mais l'équation (3 ) n'est pas du premier degré , elle est du second , et il semble que réquation finale doit être du degré an*.

Maintenant, comme nous connaissons que, quand /2=2, le degré est moins élevé, tout ce que Tinvestigation de M. Dewulf nous apprend, est que le degré du lieu ne peut pas excéder 2 n*. Mais le degré peut être moins élevé, parce que des facteurs étrangers peuvent entrer dans le procédé d'élî mination .

Faisons donc une nouvelle investigation du degré de ce lieu. Pour connaître ce degré, il suffit de connaître en combien de points il peut rencontrer une droite quelconque. Examinons donc en combien de points le lieu peut rencontrer la droite à Tin fini.

Le sommet d'un angle sera à l'infini quand les deux côtés sont parallèles. La question donc revient à celle-ci :

Combien de fois pouvons-nous avoir deux parallèles tangentes d'une courbe de la classe n , qui se couperont à angle droit ?

Mais comment est-il possible que deux droites parallèles se coupent à angle droit?

Formons la condition que la droite

y = mx -f- C

soit perpendiculaire à la droite

y z=z mx -h C\ et nous trouvons

Il faut donc que les droites cherchées passent par l'un ou l'autre des deux points imaginaires à l'infini j=:d= a: V^ — i,

(3.6) c^tisl-à-dîre par Tun ou Pautre des deux points où un cercle quelconque rencontre la droite à Tinfini.

Je conclus donc que le lieu que nous examinons peut rencontrer la droite à riniîuî seulement dans ces deux points imaginaires; mais je dis, de plus, que ces points

seront points multiples du lieu , de degré — ^ •

Car puisque par chaque point on peut tirer n tangentes,

chaque point peut être l'intersection de — ^ couples

de tangentes.

Je conclus donc que le degré du lieu est, non pas n', mais ri^ — «.

Peut-être ce raisonnement sera mieux entendu , si nous faisons la projection de la question.

Si la droite à l'infini est projetée en une droite AB, et les deux points où un cercle rencontre la droite à l'infini soient projetés en deux points (réels ou imaginaires) A, B 5 alors les projections des deux droites , qui se coupent à angle droit, couperont A, B en deux points M, T qui seront harmoniques conjugués avec A , B.

Or, il est évident que les points M , T ne peuvent pas coïncider à moins que tous les deux coïncident ou avec A

ou avec B. Et puisque de n droites , il y a intersections , le point A peut être , en — ^ différentes manières, l'intersection de deux tangentes qui coupent AB harmoniquemen t .

Si la droite AB touche la courbe donnée, chaque point M de cette droite est, en n — i diverses manières, un point du lieu, car il est rintersection de la tangente AB qui passe par T avec chaque autre tangente qui passe par M.

Je crois donc que le théorème de M. Steiner doit être énoncé .

a Le lieu des sommets des angles droits , circonscrits à une courbe de la classe n, est une courbe de degré n(n — i).

Mais si la courbe donnée est une parabole y c'est-àdire si la droite à P infini touche cette courbe y alors le degré du lieu sera (n — i)' 5 et si la droite à ^infini est une double tangente, ce degré sera (n — i)(n — 2).

Par exemple, pour la parabole semi-cubique ( jk'= P^' ) ? le lieu est une conique.

Parce qu'il y a des gens qui ne croiront à rien qui ne soit pas démontré par voie d'analyse , j'ajoute une autre investigation de ces théorèmes.

La droite ax-f-|3j'-hy touchera une courbe de la classe n si les constantes <x> j3, y satisfont à une équation du degré n,

et l'équation des n tangentes à cette courbe , qu'on peut tirer par un point x'y^ est

et l'équation

?(/> — •^> xr'— ^^) = o

représentera n droites par l'origine parallèles à ces n tangentes. Cette équation est de degré n aussi bien en x', j' qu'en x^ y.

Maintenant, nous désirons former la condition que deux de»ces droites soient réciproquement perpendiculaires.

Pour cela , il suffit de former la condition que deux racines cette équation en a: , r soient de la forme met .

Je dis que cette condition est du degré n^^i dans les

coefficients de l 'équalioii : ainsi du degré n(n — i ) en xf^y'. Par exemple , la condition que l'équation

( qui est de degré second en - J peut avoir deux racines

a, /3 qui satisfont à la condition a/3 = — iestA-|-C = o ou du premier d^ré dans les coefficients. La condition que la cubique

Aûc^ -f- B.r'7 4- Cxx^ -h Dj3

peut avoir deux racines a , |3 qui satisfont à la condition aj3 = — I est (comme on voit facilement)

A'4-D'-+- AC-f-BD = o,

ou du second degré dans les coefficients.

De même pour une équation de quatrième degré, la condition est du troisième dans les coefficients.

Note du Rédacteur, Depuis longtemps M. Dewuif ra*a indiqué les rectifications signalées ici par le célèbre analyste. Mon intention était de ne les publier qu'avec un Mémoire intéressant de ce savant militaire sur les polaires inclinées , ce qui aura lieu prochainement.

Lorsqu'on circonscrit un angle donné à une conique, le lieu du sommet est du quatrième degré; la courbe est formée de deux parties, l'une relative à Tangle donné , et l'autre à son supplément ; moins T angle diffère de son supplément, plus les deux parties se rapprochent. Lorsque la différence est nulle (angle droit) , les deux parties» se confondent en un cercle , qui est pour ainsi dire double. Il est biquadratique, mais carré d'une forme quadratique. Dans l'analyse géométrique, il existe des lignes multiples aussi bien que des points et des tangentes mul-

( 3i9 ) tiples. Ce sont ces diverses multiplicités qui amènent des abaissements réels quant aux formes géométriques , mais qui ne sont qu'apparents sous le point de vue analytique. Il reste donc encore quelque chose à éclaircir dans celte question.