II. Soient

F(x,y)=ro

l'équation d'une courbe C" rapportée à des axes rectangulaires, et x\ y les coordonnées d'un point de celte courbe.

I/équation générale des droites qui passent par ce

(*) Kéimpression memonœ lapsu (t. XIIl, p. 4i^)«

(3a3) point est

(i) 7— y = m(* — of'),

et Téquation de la tangente en ce point à C*" est

Pour que ces droites (i) et (2) forment un angle dont la tangente trigonomëtrique soit k^ il faut que l'on ait

De cette équation nous tirons

da/ ^ df '" = ~rfF ,^F' iP'^'^d?

Et l'équation générale de la droite qui, passant par un point (ar'jy') de la courbe C", fait avec elle un angle constant dont la tangente est jr, est

Nommons (a, {3) les coordonnées d'un point fixe P. L'équation de la première polaire inclinée du point P par rapport à C sera

")tf-)(g-'S)*(-')(i'-'f)=«-

X et j^ désignant maintenant les coordonnées courantes de la première polaire inclinée C^.

Cette équation est du degré /z. Donc^ par un point quelconque P du plan d^une courbe C", ou peut mener

n' droites qui coupent cette courbe sous un angle constant^ et les pieds de ces n* droites sont sur une courbe de degré n.

ni. Si k = o^ le degré de l'équation (3) s'abaisse d'une unité, et le théorème I se transforme en ce théorème bien connu :

Par tout point du plan d^une courbe C" on peut mc' ner n (n — i) tangentes à cette eourbe^ et les points de contact se trompent sur une courbe de degré n — i.

Si Al = 00 , le degré de l'équation ne s'abaisse pas, elle héorème I nous donne , comme cas particulier, ce théorème connu : *

Par tout point du plan d'une courbe C", on peut memener n* normales ^ et les pieds de ces normales se troussent sur une courbe de degré n.

Puisque toute normale à une courbe C" est tangente à la développée de cette courbe , nous pouvons conclure du théorème précédent que la développée d'une courbe C" est de la classe n^

IV. Le faisceau de w* droites qui coupe C" sous un angle constant coupe cette courbe en n^ points , et comme »* de ces points se trouvent sur une courbe de degré », les n^ — 71* autres points d'intersection se trouvent sur une courbe de degré n} — n,

V. Discutons l'équation générale de la courbe C". Pour cela, mettons-la sous la forme

Nous pouvons satisfaire à cette équation en posant dV d?

2". — = o er y — p— ^(^— a) = 0.

3«. — = 0 et j-pH.j(x-.a)=o.

1°. En posant

-=o et - = o,

l'équation de C? est satisfaite^ quelles que soient les valeurs de a et|3.

Donc , toutes les premières polaires inclinées de tous les points du plan d'une courbe G* passent par (n — i)' points fixes,

2*^. En posant

— =0 et ^— p — A(x-a)=:o,

l'équation de C" est satisfaite , quelle quie soit la valeui* de -r-.

Donc les premières polaires inclinées d'un point donné P par rapport à toutes les courbes dont l'équation a même dérivée par rapport à or, ont (/* — i) points fixes communs, tous en ligne droite avec le point P. La direction de cette droite varie avec k.

3^. En posant

dy

— = 0 et r^p.4-T(^-«)=;Ot

l'équation de C" est satisfaite, quelle que soit la valeur de — • Nous arrivons à un théorème analogue au précédent.

(3a6) De ces deux théorèmes résulte celui-ci : Les polaires inclinées d^un point P par rapport à toutes les courbes représentées par T équation

C étant une constante arbitraire ^ se coupent en a (n — i) points fixes distribués n — • i an — i sur deux droites rectangulaires qui se coupent en P, mais dont la direction varie ai^ec k.

4^. En posant

y p-X^(x — a)=:o et jr — p-j.-(x — a) = 0,.

OU

ir = a et r=P>

réquation de la première polaire est satisfaite.

Donc la première polaire d'un point par rapport à une courbe passe par ce point.

YI. Remarquons encore que les termes du degré le plus élevé en xy de l'équation de C^ sont indépendants de a , ^yk\ par conséquent ^ la direction des asymptotes de C" ne varie pas avec a^^, h, ce qui nous donne ce théorème :

Toutes les premières polaires inclinées de tous les points du plan d^une courbe C" passent par n points fixes situés à V infini*

YII. Si nous remarquons que les (/? *^ i)* points fixes dont il est question dans le théorème ( V^ i^) sont les (n — i)* pôles par rapport à C" de la droite située à l'infini, nous pourrons déduire des théorèmes (Y, i^) et (VI) ce théorème très-général:

Pi et Pf étant deux points quelconques du plan d!une courbe C", leurs premières polaires inclinées par rapport

(3a7) à C" ont en commun n* — n -4- i points fixes ^ sauoir les (n — i)* pôles de la droite située à V infini^ pôles pris relativement àG'etn points situés à l ^infini.

Un cas particulier de ce théorème, celui qui correspond à Âr = 00 , a déjà été énoncé par M. Steiner.