XI. Soit toujours la courbe C" représentée par
et supposons que le point {(Xy ^) dont nous prenons la première polaire inclinée par rapport à C", parcoure une droite
(i) r = Ax4.B.
Nous aurons la relation
P = Aa4-B,
qui nous permettra d'éliminer ^ de l'équation de C" qui deviendra ainsi
[a(— A'—\ —-^A^^a b(— k—\ [^ \d)r de) dx djr] \djr dx )
(dV , dY\ fdF , dF\
Cette équation sera satisfaite , quelle que soit la valeur de a , si nous posons
H-.A — dx dx
et
Donc, quand un point P parcourt une droite, sa première polaire inclinée par rapport à une courbe C" tourne autour de n {n — i) points ^o^e^, que nous nommons points polaires inclinés de la droite par rapport à O. A chaque point de la courbe ne correspond qu'une courbe, et réciproquement. Donc les points de la droite à la courbe du faisceau de polaires inclinées se correspondent anharmoniquement .
( 33. ) XII. Voyons quelle est la position des n{n — i) points fixes du faisceau trouvé dans le paragraphe précédent. L'équation (3) peut se mettre sous la forme
(A-^)H-(,+AA-) = o, doù
^''^ rfx "" dy \i-f.AX/'
L'équation (4) peut se mettre sous la forme
{b) g[*(B-r)-xl+^[B-r-Xx] = o.
De ces deux équations , nous tirons
^ dV
Cette équation avec Tune des équations précédentes détermine les n [n — i) points.
Or Téquation (c) est satisfaite si nous posons
dF
ce qui entraine , vu l'équation (û) , dF
Ainsi parmi les n (n — i) points dont nous cherchons la position se trouvent les (« — i)* pôles de la droite située à Finfini pria par rapport à C", ce qui était facile à prévoir.
L'équation (c) est encore satisfaite en posant
OU, en réduisant,
ce qui prouve que parmi les n(n — i) points fixes, il y en a n sur la droite donnée.
Si la droite sur laquelle se meut le point P passe à l'infini, c'est-à-dire si B = oo, Féquation (a) (n° XI) devient
djr dx
C'est-à-dire, que tous les points d'une courbe C" par ou l'on peut mener des droites parallèles à une droite donnée et coupant la courbe sous un angle donné sont sur une courbe de degré n — i . Cette courbe ne varie pas avec la direction des droites , mais elle varie avec l'angle sous lequel les droites doivent couper la courbe.
XIII. Soit le faisceau F*" représenté par F -h i/= o, et supposons que le point (a , |3) parcoure la droite
(i) ^ = Ax-f.B.
Nous aurons la relation
P = Aa^-B
qui nous permettra d'éliminer /3 de l'équation de la polaire inclinée du point par rapport au faisceau F". Celte équation deviendra ainsi
/ ( x(— A'—\ (—^k—\ \dy dx j \dx djr )
L \dy dx) dx dy \
( 333 ) Cette équation est satisfaite, quelle que soit la valeur de a, sî nous posons
( A (— k—\ '— — /• — ] \dx dx j dx dy
Ces équations déterminent pour chaque valeur de A les n{n — i) points polaires inclinés de la droite.
Quand X varie de + oo à — oo , le système des points polaires inclinés décrit un lieu que nous trouverons en éliminant \ entre les équations (3) et (4)^
Cette élimination nous donne
Donc lesn(n — i) points polaires inclinés (Vune droite relatii^ement à une courbe C" d^ un faisceau F" décriy^ent la droite donnée et la courbe
dx dy dy dx '
de degré a (n — i ) quand la courbe C" tourne autour des V? points fixes du faisceau,
La fin prochainement.
