AB AC AD AE
tang — • tang — • tang — • tang — = constante.
11 nous suffit donc, pour achever le problème, de mener par le point P un arc tangent au cercle décrit de B' comme pôle ; joignant le point de contact T' au point B', le point S d'intersection avec l'arc MN sera le point cherché.
On voit que généralement le problème aura deux solutions , et pour le résoudre il n'y aura qu'à répéter spthétiquement les constructions précédentes.
(Tolrt. XVII. p. «,n*9);
Par m. p. CHALLIOT,
Élève du lycée de Versailles (classe de M. Yannson).
Si dans un triangle sphérique ABC on donne un angle C compris entre deux côtés variables, mais dont la somme des tangentes est constante, le lieu de la rencontre des trois hauteurs dans chaque triangle est une cîrconféreuce
( 337 ) de grand cercle ; si C est la somme des côtés qu'on donne constante, le lieu sera une ellipse sphérique.
(Vamnson.)
1°. Prenons CB et CA de façon que
taogCB + tangCA = tang i/i ;
menons deux des hauteurs BP et AR. Soient a: , j^ les coordonnées sphériques d'un point n du lieu; T équation du grand cercle sera
tangCP tangBC ^ ^ r i f
Pour abréger, désignons les (tangentes par une seule lettre. Posons
taDgCA=:a, tangCBs^, tangCP = <r, tangCR = d.
L'équation du grand cercle BP sera alors
celle de Tare AR sera
Mais dans les deux triangles rectangles BGP, AGR , on a
<?=:6cosO, </=:acosO; ilnii. de hiathémat.. t. XYlII. (Septembre iSSg.) 22
( 336 ) les deux équations deviennent donc
b cos 6 b
a a cos 0
on en tire
, ^cosô-f-j: orcosO-f-j'
cos G cos G
D'après T hypothèse , on a
remplaçant « et i par leurs valeurs,
m cos 9
1 H- cos 0
équation d'un grand cercle coupant les deux axes à une distance de 1 origine marquée par -•
2°. Supposons que ce soit la somme des côtés quon
donne constante ,
nous avons trouvé ci-dessus, en rétablissant les tangentes ,
, tang y cosô -h Vàiiax tangx cosô H- tang/.
portant dans Téquation
ta nc" a tans 6
tans m = 2 -,
° 1 — tanga. tango
on aura
( tangj + tang3r)(i -h cosQ)
cosô
tang m = ' i'
( tang X cos 6 -+- tangx ) ( tangx cosQ -h tang/j
cos' 0
( 339 ) m désignant les tangentes par une seule lettre
(x-f-7)(i4-cosô)cosô
cos-'fl — jrj(i -i-cos*Ô) — {x^-hy^) cosô'
équation du deuxième degré. Donc le Heu demandé est une ellipse sphérîque.
(TOir t. XVIII. p. 286) ;
Par m. CHARDONNET (db Chalon-sur-Saôwb).
Solution analytique.
L'équation de lliyperboloïde donné rapportée à ses axes et à son centre sera
Soient x\ y^ z' les coordonnjées du sommet du cône considéré; jTi, j^i, o celles d'un point quelconque du cercle de gorge ; les équations de la génératrice du cône passant en ce point seront
On en tirera les valeurs suivantes de Xt et y^
zxf — xz' %r' — rz'
qui, portées dans l'équation du cercle de gorge , donneront pour celle du cône
(»'-jfï')'4-{»r'-y«')' = «'(* — «')%
as.
( 34o ) dans laquelle je fais x = o pour avoir Téquatiou de la section par le plan des yz.
L'une des conditions pour que celte équation représente un cercle est que le coefficient du rectangle des variables soit nul. Je fais donc j^' = o, ce qui revient à amener le sommet du cône dans le plan des xz, L*éqaation de la section devient alors
z' (x" — a^) -h z''7' -h 2a' zz' = a'
ou
équation d'un cercle dont le centre est sur Taxe des z. On obtiendra donc les deux systèmes de sections circulaires qu'admet le cône considéré , en le coupant par des plans perpendiculaires à Taxe des 2 ou à Taxe des x.
Note. Mon fils Alfred m'a remis une solation analytique identique.
Solution géométrique (Chardonnet).
On sait que toute section circulaire d'un cône oblique à base circulaire est perpendiculaire à la section principale, et que lorsqu'une section elliptique est perpendiculaire à la section principale, ses axes sont, Tunla commune intersection de son plan avec le plan principal, et
l'autre une perpendiculaire à cette ligne. Cela posé,
soient O le rentre du cercle de gorge, M le sommet du cône, K, L les points où le méridien du point M rencontre ce cercle. Menons les génératrices ML, MK du cône; soient Q ,R les points où elles rencontrent Taxe non transverse de l'hyperboloïde, P le pied de la perpendiculaire abaissée du point M sur le diamètre LK prolongé. S, T les intersections d'un autre diamètre perpendiculaire à ce dernier avec le cercle de gorge. Les triangles semblables LOQ et LPM , KMP et KOR donneront
