THÉORÈME SUR LES ROULETTES

Par M. P. SERRET.

1 . Si l'on considère rare de roulette engendré par un point o invariablement lié à une courbe mobile, pendant que rare MN de cette courbe roule sans glisser sur une droite; et Varc conjugué de la courbe-podaire, lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées dm tnême point o [regardé comme immobile) sur les dii^erses tangentes de Varc MN (devenu fixe) : ces deux arcs conjugués auront même longueur.

Ce théorème V qui est peut-être nouveau, donne lieu à plusieurs conséquences : ainsi , un arc quelconque de la

( 34a ) podaire d'une circonférence par rapport à un point de son plan est mesuré par une portion de droite , ou par un arc d'ellipse, suivant que ce point appartient ou non à la circonférence 5 inversement , un arc quelconque de la roulette produite par le roulement sur une droite d'un arc d'ellipse ou de parabole, le point décrivant étant le foyer, est égal à un arc de cercle ou à une portion de droite. Pour le démontrer, désignons par ds^ d$\ da les arcs élémentaires correspondants de la courbe MN, de la podaire M'N' et de la roulette engendrée par le point 0; soient r, r' les rayons vecteurs correspondants OM, OM', et p le rayon de courbure en M de la courbe MN, D'après une expression connue, on a

nis

une formule due à Euler, p = ^-r> peut s'écrire

J'^ r.dr''^

enfin , l'égalité connue des angles sous lesquels les rayons vecteurs OM, OM' coupent la courbe MN et la podaire

M'N', fournit cette dernière relation : --- =r -— ., ou

ds ds'

dr^ dj^

dr ds

Or si Ton multiplie membre à membre ces trois égalités, on trouve, en simplifiant, la relation da = ds\ qui démontre le théorème énoncé.

Note du Rédacteur, Le théorème a été énoncé et démontré par M. Steiner (Crelle, t. XXI, p. 35 ; 1846) ^^ ensuite par M. Mannheim (Y Institut^ 24 février i858) qui m'a communiqué ce renseignement.