QUESTIONS D'EXAMEN (ECOLE POLYTECHNIQUE

Condition pour que deux génératrices rectilignes de

Vhyperboloïde —^-^tz ^=^i se coupent sous un angle

droit. Lien géométrique du point d^ intersection.

Eu désignant par a et 6 deux angles quelconques, les équations des génératrice^ rectilignes de Thyperboloïde sont, pour l'un des deux systèmes.

et pour l'autre y

- =- cosa+ sin.a,

V = - sm « — cos.a ; b c

- =r - COS 6 -H SÎD 6,

^ = sin 6 + ces 6.

Les coordonnées d'un point commun à deux génératrices de systèmes différents sont déterminées par

COS- (a +6) cos a 4- cos 5 2 ^

c siD a -H sm6 . i , . 4,v

sin-(a •+- 6)

/ - ^. sin-(a — 6)

Y /cosa-HcosSX . 2^

~ =r l -; r— r ) sm a — cosa = >

b Vsina -f-sm6 y • ï / . -n

^ ' sm-(a4-6)

I , . io\ cos~(a — €)

X / cosa-+-cos6\ 2^

— = -; r-i I cosa 4- sm a =

a \sina-f- sin6/ . i, ^,

^ sm-(a4-6)

( 344 ) Le carré de la distance de ce point au centre de la surface a pour expression

a»cos'-(a-6)-|-^'sin»-(a— 6)-hc»cos*-(a-f-6)

sin^-(a-4-e)

Quand sîn - ( a -+- 6) = o , les deux génératrices sont parallèles. La condition pour qu'elles soient perpendiculaires est, d après une formule connue ,

ou

-- ODS a ces 6 sm a sm 6 4- 1 = o ,

( 2 ) rt' ces a CCS 6 — 6» sin a sin 6 -h c^ = o.

De celte dernière relation on peut conclure que la dis* tance du centre de Vhjperbohïde au point d^ intersection de deux génératrices rectangulaires est im^ariable. Car, en observant qu'on a, quels que soient a et ê,

ces a ces 6 = eos' - ( a — 6 ) — sin'.- (a -f- 6 ) ,

— sin a sin 6 = sin* - (a — 6 ) — sin' - ( a -f- 6) ^

I = cos"^(a-4- ê) + sin'-fa -h 6), la relation (2) devient

ôM cos'-(a — 6) — sin'- (a -4- 6) j

+ b'\ sin' i(a — ê}— sin' -(a -f 6)