POI = PO"I

SÉRIE L06AMTHM1#I1I D EliLER.

Euler, dans son Calcul différentiel (cap. VI, § i45), donne pour des nombres très-grands cette série approximative ,

, x-^y II I I *-

y x-^-x ar-H2 a:-f-3 '" x-f-^ 2x(x+/)

lorsque x =y , négligeant le dernier terme — j > on a

c'est la série donnée p. 463 (t. XVII des Nouvelles Annales ) . ( Communiqué, )

C'est Fobjet de la question 4S8, résolue par divers; M. Alfred Siebel , élève de l'École Polytechnique de Zurich , a envoyé une savante solution , fondée sur la théorie des séries.

( 363 ) TRAVAIL DANS U PODLII NOBilE

(TOlrt. XVI,p. 8W);

DVpEis M. fiUCH.

Note. Beaucoup de fautes typograpliiques défigurant cet excellent article, nous jugeons utile de le reproduire 5 nous conservons la même figure.

i . Notations, a = angle de la puissance P et de la verticale Q -, (1) = angle du chemin élémentaire

OO' et de la verticale 5 s = le chemin élémentaire OO' ; H'O = chemin élémentaire de la résistance = ^coscd.

Donc

Q.H'0 = Q5C0Sw= trav. élém. de Q;

la différence des deux chemins FA-harc AB-f- BE et FA'-f-arcA'B'-f-B'Eest

FA — FA'-f- arc AB — arc A' B -h BE — B' E ;

Tare GK est égal à l'arc AB-, donc celte dernière différence est égale à

FA — FA'-h arc GK — arc A'B'-h BE— B' E=r / :

mais

arc GK — arcA'B' = arc GA'+ arc B'K;

donc cette différence devient

FA — FA' -h arc GA'-f- arc B'K -f- BE — B' E = /.

Soit C la projection orthogonale de A' sur FA, FA cr

( 364 ) FA' étant infiniment rapprochés, car le mouvcmenl est élémentaire; on a

FA'=FC et FA~FA' = AC,

et , par la même raison ,

BE — B'E=rBD,

où D est la projection de B' sur EB.

Soit M la projection de G sur FA ; la tangente en G est parallèle à FA, et cette tangente coïncide avec Tare élémentaire A' G ; donc

arc GA'= CM , et FA — FA'-h arc GA' = AC -h CM = AM.

On démontre de même que

BE — B'E ^- arc B'K = BD + DN = BN,

ou N est la projection de K sur EB.

Ainsi , la différence de ci-dessus devient

AM -f- BN = /,

où AM est la projection du chemin élémentaire 00' sur FA. AM et 00' faisant avec la verticale des angles a et o), Tinclinaison de AM sur OO' est a -h w; donc

AM = O0'cos(a 4- w) = s cos{oL H- w), et , de même ,

BIN = 00' cos(a — w) = s cos(a — - o)); donc

AM + BN = 2 v ces a ces w = /.

Le travail élémentaire de P est donc P / = 2 P €05 a . 5 cos « :

or l'équation d'équilibre donne

Q = 2 P cos a ;

donc

P / = Q cos a ,

c'esl-à-dire le travail élémentaire de P est égal au travail élémentaire de Q. c. q. f. d.

On voit que la même démonstration aurait lieu, si la poulie était une courbe quelconque , et si le déplacement était infiniment petit.

RELATIONS ENTRE LES POINTS ET TANGENTES MULTIPLES DE PLUSIEURS ESPÈCES.

m = degré de la courbe \

n t= classe de la courbe ;

d = nombre de doubles-points (par lesquels passent deux tangentes) ]

x = nombre de points de rebroussement (doubles-points par lesquels ne passent qu'une tangente (points stationnaires *,

i = nombre de points d'inflexion ( tangente stationnai re) \

T= nombre de tangents double (tangents à deux points de contact).

(i) n -=1 tri' — m — 2^ — 3x, •

(3) I =3/w»-~6/îï — 6^--8x,

Ces quatre équations ne constituent que trois équations indépendantes , car 3 (i) — (3) donne

(5) X — / = 3(/w — n)\ ce qu'on obtient aussi par (i) et (4).

( 366 ) Éliminant /entre ces équations, on obtient

(7) 2(^-T) = (/lI-/^)(l»-h/^-9);

un double-point est équivalent à une condition, et un point de rebroussement à deux conditions.

(Salmon, High, curves, § 100, p. 90 ; et Steiner, Crelle, i.XLVII,i856,p. i.)