ENVELOPPES

Salmom , Higher cmrves, p. 94-

1. a^ by c ^. . , étant des fonctions linéaires des coordonnées JC, y, soit donnée la relation

OÙ ^ est un paramètre variable; de sorte que T représente une droite variable dans un plan.

Soit tJ = o l'enveloppe de cette droite.

Il est évident que U est de la classe n ; car, à une seule valeur de x^ f et f , correspondent n droites tangentes à la courbe U ; Téquation U = o s'obtient par l'élimination de t entre

ou bien entre

dT ^ dT

-— ^o et /iT — ^~7-=:o;

dt dt

dans celle dernière équation, le terme en i" disparaît;

(367) (l*après le théorème de Cayley (t. XII, p. 396), les coefficients des deux équations montent dans chaque terme au degré n — 1, et comme ces coefficients sont linéaires, il s'ênsnit que le degré de U est 2 (« — i). La classe devrait être dans le cas général 2(/i — i)(a7i — 3); mais elle est de la classe n : donc la relation T = o ne peut donner les courbes générales de la classe /2 ^ il y a donc des points multiples.

Points de rehfomsement, T a= o , --- = o , -rr = O5

^ dt ^ do '

T = ar-h nb r"-' -h --^ -^- /«-2 4- . . . ,

— =71 ar-'-+-(/i — i)ôr-»-h^^ ^r-»+... U

Eliminant a: et jr entre les équations (a), (c), («?), on obtient une équation en t du degré 3 (w — 2) ; on a donc autant de points de rebroussemeut.

( 368 ) Points multiples. Dans la relation (t)) on connaît donc pour le cas actuel : n classe de U ^ m degré et % nombre de points de rebroussement* Substituant ces valeurs^ on trouve pour le nombre de points multiples $^

Points d 'inflexion, T = o et — = o représentent

deux droites qui doivent coïncider aux points d'inflexion ; cette identification n'est pas possible dans le cas général.

Tangente-double. L^équation T = o peut se mettre sous la forme

xF.(0 + rF,(r)4-F3(r)=o;

pour qu'il y ait une tangente-double, il faut que pour deux valeurs différentes fi , tj les deux droites coïncident. Lorsque /i = 3 , on ne trouve qu'une seule double-tan-gente.

Observation, Lorsque a^b^ c sont des fonctions de degré r, l'équation en U est de degré ir [n — i).

Ainsi , si. w = 2 , r= i , 11 = 0 représente une conique.

2. Afx"-f- Bfx'' H- C = o 5 A , B , C fonction d'un para-» mètre variable.

Équation de Tenveloppe :

Le signe -h pour n impair et — i pour n pair.

3. A cos"* 6 -f- B sin"* 6 = C •, 6 paramètre variable* Équation de T enveloppe :

Ainsi y toute tangente à une courbe donnée par Féqua-»

lion or^-H j" = a", peut être exprimée par Féquation a(ii~i) a(n — I)

xcosO " -4-j " = a.

4. ( Aa)~-f- (BjS)"*-!- C'"= o , a , (3 paramètres variables entre lesquels on donne la relation (accY^ (fe|3)''-l-c'*=o 5 A, B, C fonctions de a:, y; a, b^c^ m, n^ constantes données.

Soit

mn m — n ^'

On obtient pour équation de l'enveloppe :

5. Polaire réciproque. f[Xy /, z) = o, équation homogène de la courbe ^

coordonnées d*un point de cette courbe \

a?'-f-/*-hz»=:o, équation de la directrice (cercle imaginaire) \

•af-ï^iH- J/i-i-M, = 0,

équation de la tangente à la polaire réciproque.

L'enveloppe de cette droite donne l'équation de la polaire réciproque; les paramètres variables oTi , /i , z^ sont liés par la relation /^(ti , y^i, Zi) = o, il suffit d'éliminer Zj : on obtient une équation homogène en x^^y^. Ordonnant par rapport à Xj , j^i , et écrivant que l'équation a deux racines égales , on obtient l'équation de la polaire réciproque, car x, y, z sont considérées comme coordonnées du point de contact de la droite avec la polaire réciproque.

Ann. de Mathémai., t. XVIII. (Octobre iS^g.^ ^4

Application.

il x' -H a'x^H- a" 2^-f- a" 2*+2 byz-^- 2 6' 2x 4- 2 b" xy z Représentons par û le déterminant: on a

^z=^ab'^a'V^'\'a''b"'^aa'a"--o.bb'b"=z

Téquatîon de la polaire réciproque relativement au cercle X* 4- j^* -h ^* = o est

*' Afl 4- j' Aa' 4- 2' Aaw 4-/« A*'' -^ zx Ùii/-\- yx tk^ii = o, où

L'équation de la polaire réciproque se déduit donc de Téquation donnée , en remplaçant le coeflScîenl de chaque terme par la dérivée partielle analogue du déterminant.

Il y a deux moyens de trouver l'équation d'une polaire réciproque : 1° comme envelopped'une tangente ^ 2*^ comme lieu du pôle d'une tangente. M. Salmon préfère la première méthode , et en a montré l'application aux courbes du quatrième ordre. (High. cujves, page 101; i852.) M. Cayley a , le premier, donné la polaire réciproque des courbes du troisième ordre. [Camb. and Dub. mat. Journ. ; 1. 1, p. 97; 1846.)

Note, Sauf une plus simple démonstration, le procédé pour la limite des racines décrit page 3 10 a déjà été donné par M. Desboves (t. XIII, p. 60; i854).

CONSTRUCTION Dli CENTRE DE COURBURE DE L'ÉPICYCLOIDE ; Pak m. a. mannheim.

i. Désignons par/(*) le centre de la circonférence fixe F (**), par m le centre de la circonféreace mobile M qui roule sur la première, et par d le point de contact de ces deux circonférences.

A étant une courbe quelconque liée à la circonférence M, on sait que le pied n de la normale abaissée du point d sur A est le point de contact de cette ligne avec la courbe qu'elle enveloppe pendant le mouvement de M. Soita le centre de courbure de A correspondant au point n -, après un mouvement infiniment petit, M touche F au point d\ A touche son enveloppe au point n', et la ligne d' n\ normale à cette enveloppe, passe par la nouvelle position a' du. centre de courbure a. Les droites dn, d'n' sont deux normales infiniment voisines dé la courbe enveloppée , elles se coupent donc au centre de courbure de cette courbe , elles sont aussi deux normales infiniment voisines de la courbe décrite par a. On voit donc que, pour un mouvement infiniment petit de M , la courbe décrite par Si et la courbe em^eloppe de A ont même centre de courbure (***).

2. Plus généralement , deux courbes parallèles enveloppent deux courbes parallèles. Cette propriété se démontre très- simplement.

C*) On est prié de faire les figures.

(**) La ligne fixe sur laquelle s'effectue le roulement de la ligne mo- »Ue porte le nom de hase de la roulette. ('**) Des méthodes en géométrie, par M. PaulSerret, p. 83.

3. La recherche du centre de courbure de la courbe enveloppe de A est donc ramenée à celle du centre de courbure de répicycloïde décrite par le point a.

Joignons le point a au point d^ nous savons déjà que le centre de courbure est sur cette droite. Par le point/, menons parallèlement à am la droite /ft, qui coupe «rf au pointé; les triangles adtn et bdf sont semblables : on conclut de là que la longueur yè est constante.

Le lieu décrit par le point b lorsque la circonférence M roule sur F, est donc une circonférence ayant le point/

pour centre. En outre, le rapport —j étant constant, on

voit que la normale ad est partagée , par trois courbes connues , dans un rapport constant : on peut donc appliquer les constructions données dans le numéro de septembre 1857, p. 323 (n°* 5, 9, H).

Menons au point d la tangente commune T aux deux circonférences F et M, au point a la perpendiculaire Ti à ad^ au point h la perpendiculaire T, Àfb] la parabole tangente à T, Ti , T, , ad touche cetle dernière au centre de courbure de l'épicycloïde décrite par le point a (t. XM. , p.325,nMl). I

Appliquons la construction donnée dans le même vo- | lume, au n° 10 de la page 324. La normale à Télé- I ment décrit par le point a est ad^ la normale à IVlément décrit par le point d est fd^ et la normale à l'élément décrit par le point b est fb-^ il faut chercher une droite perpendiculaire à adciui soit partagée par ces

trois normales dans le rapport constant -rj-^ le point où

cette perpendiculaire coupera ad sera le centre de courbure cherché.

Pour cela, élevons au point d une perpendiculaire à ad: soient p et q les points où elle coupe am et bf] menons

(373) fp -, soit Cf. le point où elle coupe ad : ce poiut est le centre de courbure cherché, car la droite menée par ce point parallèlement à dp sera perpendiculaire à ad et sera partagée par les normales ad^ df^ bf dans le rapport -jad

4. La construction se réduit à élever au point d une perpendiculaire à ad^ cette perpendiculaire coupe am au point p, la ligne y]p coupe ad au centre de courbure a. Cette construction est due à M. Savary {*).

5. Remarque» Dans le cas particulier où le point a est sur la circonférence M, le point b est sur la circonférence F, et le point a est alors la conjuguée harmonique du point a par rapport aux points d^ b.

On déduit facilement de là que Tépicycloïde décrite par un point de la circonférence M et sa développée sont deux courbes semblables.

6. De la construction générale que nous venons de donner, on déduit la formule de M. Savary de la manière suivante :

On sait que : Étant donnés un angle dont le sommet est m et un point o dans son plan ^ on a y en obsetvant la règle des signes, quelle que soit la direction d'une droite passant par ce point et coupant les côtés de l'angle aux points c ef d.

\od oc J

sin dont

:const. (**)

(*) Voir Traité de Géométrie descriptive de M. Leroy, 2® édition, 1842, p. 386.

("*} Voir Transformation des propriétés métriques des figures, p. 3.

(374) D'après cela, dans Tangle apf on a

doL da \df dm ) smfdp'^ d'où la formule de M. Savary

\da da)

cos/rfa = ^-£.

Applications, i**. Une parabole roule sur une droite T, le foyer a de cette parabole décrit une courbe [chaînette) ; on demande pour une position arbitraire de a le centre de courbure de cette chaînette.

Soit d le point où la parabole touche T5 prolongeons da d'une longueur égale à elle-même jusqu'en b-^ au point b élevons une perpendiculaire sur bd, et au pointa une perpendiculaire sur T : ces deux perpendiculaires se coupent en ni^ centre de courbure de la parabole. Au point d élevons une perpendiculaire à ad et prolongeons cette droite jusqu'à sa rencontre c avec am-^ du point c abaissons une perpendiculaire sur T : cette perpendiculaire coupe ad au centre de courbure cherché. On voit, par cette construction, que le point b est ce centre de courbure.

Remarques, La ligne bd est tangente à la développée de la chaînette; la portion bd de celte tangente est toujours partagée en deux parties égales par le point a: on déduit de là (t. XVI , p. 326) que, pour obtenir au point/' le centre de courbure de la développée de la chaînette, il faut prolonger mb d'une longueur égale à elle-même.

Dans le triangle dbm^ md est le rayon de courbure de la parabole, bd est égale à deux fois le rayon de courbure de la chaînette , bm est égale au rayon de courbure de la développée de la chaiuetle ; en désigoant par r, /'n ''?

. (375) ces trois rayons, ou a

relation remarquable, due à M. Lamarle (*).

2*^. Soient T la tangente au sommet d'une parabole, b le foyer et e le sommet de celte courbe ; lorsqu'elle roule sur T, supposée fixe , b engendre une chaînette C tangente à une droite S menée par le point b parallèlement à T : nous allons faire rouler cette chaînette sur la ' droites^ supposée fixe , et chercher le centre de cour^ bure de la courbe enveloppée par sa base T.

Soit a un point quelconque de C-, il arrivera un moment où ce point sera sur S. Désignons par a' cette nouvelle position du point a, la droite T occupe maintenant la position T'j nous allons chercher pour cette position le centre de courbure de la courbe enveloppe de T.

Cherchons d'abord le centre de courbure de la chaînette au point a' : en ce point élevons une perpendiculaire à S, cette perpendiculaire coupe ï'au point gf*, en prolongeant ga' d'une longueur égale à elle-même, nous obtenons, d'après ce que nous venons de voir, le centre de courbure de la chaînette pour le point a\

En appliquant maintenant la construction (4) au point qui se trouve à l'infini sur la perpendiculaire abaissée du ' point a' sur T', on trouve que le point où cette perpendiculaire coupe T' est justement le centre de courbure cherché. Puisque la droite T dans ses difierentes positions passe constamment par le centre de courbure de son enveloppe, cette enveloppe est un point, et ce point est le sommet e, pied de la perpendiculaire abaissée du point b sur T. On peut donc dire : Lorsqu'une chaînette roule sur une droite , sa base passe par un point fixe, ou en-

{*) Théorie géomélri^ue des rayons et centres de courlurc, p. 75.

(376) core, sa tangente au sommet eni^eloppe une circonj'é^ rence.

Remarque, Lorsque la chaînette louche S en a\ e est le pied de l'ordonnée du point a; on voit immédiatement que la distance eh de ce point à la tangente S est constante , et que la distance ba' est égale à la longueur de l'arc de la chaînette compris entre a' et le sommet de cette courbe. Si Ton désigne par a la distance constante eb , par s Tare compris entre a' et le sommet de la chaînette, par (j) l'angle de S et de T', on a

s z=z a tangf ,

équation très-simple de la chaînette entre les coordonnées 5 et y [Éléments de Statique , par M. Poînsot).