CONCOURS D'ADMISSION A L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

Composition de malhéioatiqDes (année 1859);

Par M.JAUFROID,

Professeur de mathématiques au collège de Toulon.

Énoncé, i^. On donne dans un plan un nombre quelconque de points : trouver, parmi toutes les droites parallèles à une direction donnée, et situées dans ce plan, celle dont la somme des carrés des distances aux points donnés est un minimum.

1^, La direction de la droite venant à varier, et les points donnés restant les mêmes, prouver que la ligne qui remplit la condition de minimum énancée plus haut passe par un point fixe.

3°. Combien, par un point donné du plan, peut-on faire passer de lignes telles , que la somme des carrés de

( 377) leurs distances aux points donnés soit égale à un carré donné.

4^. Il peut arriver que les lignes qui Satisfont à la question précédente soient imaginaires : cela a lieu lorsque le point donné est dans l'intérieur d'une certaine courbe dont on demande l'équation.

5*^. On peut toujours, quel que soit le nombre des points donnés, et de quelque manière qu'ils soient placés , les remplacer par trois autres , tels , que la somme des carrés de leurs distances h une droite quelconque du plan soit proportionnelle à la somme des carrés des distances des points donnés à la même droite, ou, en d'autres termes , tels , que le rapport des deux sommes de carrés soit le même pour toutes les droites du plan.

6°. Les trois points définis dans la question précédente sont indéterminés ] trouver la courbe sur laquelle ils sont situés.

y^. Le triangle qui a ces trois points pour sommets, a une surface constante.

Notation, (x\ j') , [x'\ y*') , . . . , poiuts donnés.

Les formules de transformation des coordonnées servent à prouver facilement qu'on peut prendre pour origine un point tel , et des axes rectangulaires dirigés de telle manière, que Ton ait

S(-r) = o, S(r) = o, S(xj) = o.

1**. Soit m le nombre des points donnés ; l'équation du problème est

S(y^ax^bY ___

OU

(i) S ( j') -ha^S(x')-\- mb' = (i-h «2) A^

La condition de réalité de b donne pour le minimum de A*, que je représente par A'*,

on a alors 6 = 0, c'est-à-dire que la droite passe par l'origine, et cela quel que soit a.

2°. Le centre des moyennes distances est donc le point fixe par lequel passe constamment la droite correspondant au minimum, lorsque a varie.

3^. Soient (a, /3) un point donné; y — j3 = a(x — «) une droite passant par ce point , l'ordonnée à l'origine est (3 — aoL\ portant cette valeur à la place de b dans l'équation (i), et développant, on obtient

Les valeurs de a qu'on en tire peuvent se mettre sous la forme

îapdz/wi/—

— SM^, A'— S(r-^) , A^— SM A'-S(r

Ou peut donc, en général, par un point donné, faire passer deux droites répondant à un carré donné A*.

4°. Si la quantité sous le radical est négative, a est imaginaire; le point donné est alors dans Tintérieur de la conique

A— S(.r^)y, ^ V-S(r')^, A'-S(.r') A'- s (.)-')„ rn m m m

Cette conique est une ellipse si l'on a à la fois

C'est une hyperbole si A* est compris entre S (x*) et S (7*) : on ne peut pas avoir A* égal ou plus petit que la plus petite des quantités S (x^) et S ()^*) , car alors a est imaginaire, quel que soit le point donné.

Si A* est égal à la plus grande de ces valeurs , a est toujours réel , quel que soit le point donné.

En faisant a = o, (3 = o, la droite considérée passe par l'origine, et la condition de réalité de a donne alors pour le maximum minimorum et le minimum mînimorum les quantités S (x*) et S (y*) , les axes sont alors les droites répondant à ces valeurs.

5*^. Soient (p, ^), (^', (7'), (p'^, ^''') *trois points. La cinquième question conduit à l'équation

cette équation sera satisfaite, quels que soient a et b, eu posant

(3) ry^ + ^'2 + /-^=:ls(r^)=:2A%

(4) pq^p'q'+p"q'' = o,

Les couples [p ^ q) ^ [p\ q') , [p'\ q") entrant de la même manière dans ces équations, Télimination conduirait à une équation en p^ q^ identique à celle qu'on trouverait ea p\ q' on en p", q". L'équation en p ^ q sera donc le lieu des trois points considérés.

Avant de chercher ce lien , nous allons démontrer que

( 38o ) le triangle qui a ses trois points pour sommets a une surface constante.

Soit T celte surface ; on a , après toutes réductions,

mais les équations (5) el (6) , multipliées respectivement par q' et p', puis par q" Gip^\ et retranchées , donnent

qp- pq' = q'p- p' q" = pf- qp\

on a donc

qp'-p,,- = q'p"-p'q" = pq"- qp" = |t;

élevant au carré et ajoutant, il vient

{qp'-pq'Y + (q'p"-p'q"y+(pq"- qp'') = ^T.

Développant et se servant des équations (2) , (3) et (4)y on obtient

6^. Considérons maintenant le système

qp'-pq' = ^T,

p'+pp'-hp" = g\

Les équations (8) et (9) ont été obtenues en portant dans les équations ( 2) et (3) les valeurs dé p^^ et q^^ fournies par les équations (5) et (6). Il s'agit d'éliminer p' et ^' entre ces trois équations.

Portant dans l'équation (8) la valeur de p' fournie par Téquation (7) , simplifiant à l'aide de l'équation (9)? on obtient une équation du premier degré en ^y'j résolvant et portant cette valeur de q' dans l'équation (9) , on ob-

(38i ) tient, en remplaçant T* par sa valeur,

ce qui donne, pour le lieu des trois points considérés, l'ellipse