TRANSFORMATION DES PROPRIÉTÉS MÉTRIQIES DES FIGURES
(Tolr t. XVII, p. 184):
ParM. FAURE,
Capitaine d'artillerie.
Transformation des relations de segments.
Transformer homograpluquement la longueur d'un segment a'b' d'une droite C.
8 bis. Soient sur une droite C deux points «, b correspondants aux points a* et b* de la droite C Prenons sur la droite I les deux points p et pi qui correspondent à ceux de la première figure situés à l'infini sur les droites imaginaires j' = ±: sj — i x'. Si l'on mène les
(38a) droites pa^ pil^i on formera un Irîangle abc qui sera rhomologue du triangle a' b' c' de la première figure, construit d'après le lemme.
On aura donc, d'après la relation d'aire (i) (t. XVQ, p. 382),
a' b' c =im — - — 1
«,(3,7 étant les distances des sommets a , & , c à la droitel. Mais , d'après le lemme cité ,
donc
La longueur a'b'se trouve ainsi transformée, et nous n'introduisons dans la seconde figure que deux nouveaux points p et p^. S'il se trouve un cercle dans la première figure, il lui correspond dans la seconde une conique, dont les points d'intersection avec la droite I sont nos points p et pi.
9. L'expression précédente peut se mettre sous une forme plus commode pour les applications. Menons la droite ce parallèle k C et cd parallèle à L Les droites C et I se coupent au point C. On a
abc ab , cd
or
par suite
aCa
Cb,
cesin(C,
cd
ce ~^
Cp Ctr
.ac .cp
Cp,.bc 'Cb.cp,'
cd ce
CpXp, Ca.Cb
ac cp.
bc cp, "~
^Cp Cp,
Ca.Cb
ab.
PPi
cd
.ce
(Jonc
cd C«.C/>, .ab
ce Ca.Cb,ppx
et
abc ab Cp Cpt
*-P-'y Ca\cb' PP' 2sin'(C,I)
Si l'on pose
j^, ^m\]^^iCp.Cp
on aura
Première transformation .
Appelons t. el tTj les distances des points p et p^ au segment aft ^ on aura aussi
(2) «'6'=i/iIlV:ziî^Lv(!LJI:,
el, sous cette forme, nous dirons que la longueur d^un segment d'une figure est égale à la longueur du segment correspondant div^isée par le produit des distances de ses extrémités à une droite fixe I , multipliée par la racine carrée du produit des distances de deux points fixes de cette droite au segment et par une constante. La formule (i) peut s'écrire
de sorte que si la distance |3 est infinie, on a (3)' a'b'==^
dans ce cas le point 6' est situé sur la droite I'.
(384) On a aussi
ab
(4) a'b' = Vi
Ca.Ob sin{C,I)
Si l'on joint un point quelconque S aux points a\ h\ C par les droites A , B, S, oh a
(5) a'b'-K sin(A,B) j^
^^ "~ sin(S,A)sin(S,B)*SC'
^ ' SflC.SC^ 2 '
Sab indiquant Taire du triangle Sab , etc.
On pourra prendre pour le point S l'un des points doubles.
10. La valeur de R* est affectée du signe ^ — i, mais on voit sans peine que Timaginarité n'est qu'apparente; car si les constantes a^h ^c^ . , ,^ sont réelles , les points p et Pi sont imaginaires, et par suite l'expression de ppi. Si au contraire ces points sont réels , il faut que les constantes a^byC o\xa\b' et c' soient imaginaires , et alors w le sera aussi.
11 . On peut, au reste, faire disparaître le signe V^— i en introduisant dans la formule le milieu q du segment ppi et le point Ci conjugué harmonique du point C relativement aux points p et p^. On a , en effet, les relations
d'où
Cp.Cp, =Cy.CC, ; R'=i:mCC, i/£t'
12. Cas particuliers, i^. La droite I est à r infini. On a ainsi le mode particulier d'homographie dans le-
( 385 ) quel à des droites parallèles dans l'une des figures correspondent des droites parallèles dans l'autre.
Soient dans la deuxième figure deux droites P, P| correspoDdant respectivement aux droites j''= =h ^ — i a/ de la première. Le segment ab étant l'homologue du segment a! b \ menons ac parallèle à P, bc parallèle à P| -, le triangle abc correspond au triangle a'b'c' du lemme, de sorte que si Fou a égard à la relation d'aire cpii a lieu pour ce cas (6) , on aura
a'b' =:4c"v^^ , \, abc.
Cette relation fait voir qu'un théorème étant démontré dans le cas général (8) , on aura celui qui lui correspond dans le cas actuel, en remplaçant par l'unité celles des distances a , |3 , . . . qui deviennent infinies. •
2°. Les droites imaginaires y' = dt ^ — i x' de la première figure coïncident ai^ec leurs analogues»
Si l'on appelle S le point d'intersection des droites P etPi qui correspondent aux droites imaginaires de la première figure, les lignes SC, SCi seront à angle droit, et S^ sera perpendiculaire suri (il faut se rappeler que. les droites y = ± \l — i x forment un faisceau harmonique avec les deux côtés d'un angle droit).
Dans la valeur de R' (H) on peut donc, au rapport
-77» substituer son égal z=râ ) et si l'on remarque, de ^^' SC,
plus , que CCi . S^ = SC . SCi , on aura R* = SC — > de
sorte que là formule (i) devient
'^ fl^.SCsin(C.I) S^ ' a.p '
le radical est ici constant.
Ànn. de Malhémat., t. XVIU. (Octobre 1869.) 25
( 386 ) Si Ton exprime aualytiqitement que ies droites y'=± V — I ^' coïncident avec leurs homologues
a' x' H- h' y -h c' = ±: V~ [ax -\-hy-^c),
on trouve les relations
«'=zh^, ^' = ±fl, c = c' = o,
de sorte que les formules de transformations deviennent
ax-^hy zpbxàzay
'^.a"x^h"y^c"'' ^ ^ oT x^ b" y ^ c"'*
Transformation des relations d'angles.
Transformer homo graphiquement les lignes trigonométriques d^un angle et Vangle lui-même,
