Soient^a'i'c' un triangle, abc Iç triangle homographique

. , ^a'b'c' a'b'.ac

d'après nos relations d'aire et de segment, on a

abc

a' b' c' =1 m • — - — ; 2/w^ — iC/?.C/?i ab

pp, Ca,Ob sin(C,I)

si — I B/7.B/71 ac

ppx Ba*bc sin(B, I)'

dans ces formules , B et C indiquent les droites formant les côtés de l'angle a qui correspond à Tangle donné û', nous désignons par les mêmes lettres les points où ces deux droites rencontrent la droite I.

Remplaçant dans l'expression de sin a\ on obtientt

( 387 ) après simplification ,

sin fl' = - ■ ^-^--

2 v/— C/?.C/?,.B/?.B/?, Soit r le rapport anharmonique des points ^, ^i , B , C,

C^ Bp ^'^Cpy'Bp,'

on pourra mettre la relation précédente sous la forme

, I iT-r

sm a z=. — :

d'où Ton déduit aussi

cos a = =— et tang - «== ■=. sj— i .

Ces formules serviront à transformer une quelconque des lignes trigonométriques d'un angle.

Si l'on veut transformer Tangle lui-même, on remarquera que les formules précédentes donnent

cos a' — sin a' ^ — i = ^ ; d'où

relation très-élégante, due à M. Laguerre-Werly. On y parvient en cherchant le rapport anharmonique des droites B, C et j^ = ±: V— i x.

Transformer homo graphiquement la distance d'un point c' à une droite C.

14. Prenons deux points arbitraires a' et 6' sur la droite C, de manière à former le triangle a'b'c'. Désignant par h' la hauteur de ce triangle correspondant au

( 388 ) ^ sommet c\

d'où

Soit abc le triangle homographique. On a

a^V c'^=.m . — - — 9 et, formule (7),

y ppi

ppi «-p

par suite ,

V 2 ^— I ab.'f^it.iti et A désignant la distance du point c à la droite a6 ou C,

dans cette relation y exprime, comme précédemment, la distance du point c à la droite/? , pi et tt, Wi sont les distances des points fixes p eipi k la droite C*

La distance d^un point à une droite est égale à la distance correspondante dans la figure homograpliique diwée par la distance du point qui correspond au point donné à la droite I , par la racine carré du produit des distances de deux points fixes de cette droite à la droite qui correspond à la droite donnée et multipliée par une constante.

( Les Applications prochainement, )