QDESTION D EXAMEN (ÉCOLE POLYTECHNIQUE

\, Si la différence m'**™® d'une fonction i[x)est constante, la fonctiofi est algébrique entière et du rfegrém(*).

i^. Lorsque la première différence d'une fonction f (x) est une quantité constante c^ la fonction est entière et du premier degré.

Soit h la différence constante de la variable; on aura, par hypothèse ,

et, en égalant les dérivées, par rapport à a:, des deux membres de Téquatioa (i) , il viendra

//(4?-hA)-/'(^) = o ou /'(x-h^)==/'(x).

Cette dernière relation montre que la dérivée def(x) reste invariable quelle que soit la valeur substituée à a: ; iouCjf(x) est une fonction entière du premier degré.

a?. Lorsque la première différence d^une fonction f (x) est un polynôme entier du degré n, la fonction est un polynôme entier du degré (n -f- i).

En effet, par hypothèse , on a

(2) f{x -4- A) — f{x) = kar -h Bar«-» +...-+. R.

Puis, en prenant les dérivées de l'ordre (n -H i) par rapport à X ,

/»+! (^ 4- A) — fn^y (^) = O ,

(*) C'est la réciproque de cette proposition du Programme officiel : La àifférenee de l'ordre m d'une fonction entière du degré m est constante si la différence de la variable est ellc'même constante.

OU

d'où Ton conclura , comme précédemment , que la dérivée de l'ordre (w + 1) def(x) est constante, et que, par conséquent,y*(x) est une fonction entière du degré (» + i). Au moyen de ces deux remarquée , il est facile d'établir la proposition (1). Car, d'après la première, si la différence, w'*"** de f(x) est constante, la différence (m — i)'^»»* de f(x) est une fonction entière du premier degré. Donc {2°) , la différence (m — a)'*"*' sera une fonction entière et du second degré. Et ainsi de suite. G.

NOTE

Sor ue démoistratioB d'on théorème de méeaBifoe imm pir Eiler.

Dans le mouvement d'un corps rigide ^ il est toujours possible d^ assigner une droite passant par un point arbitraire du corps y mobile ai^ec lui et telle , qu*au bout d^un temps fini quelconque, elle se trouve parallèle à sa direction initiale ,

Le théorème d'EtJLER revient évîdenmient , comme le fait observer M. Brioschi (*) , à cette proposition de géométrie élémentaire :

Étant donnés deux systèmes d'actes rectangulaires ayant la même origine , on peut déterminer une droite passant par cette origine, et telle, quune rotation autour de cette droite amène Vun des systèmes à coïncider auec Vautre^ proposition qui ne diffère pas de celle-ci :

Étant donnés deux systèmes d'axes rectangulaires

(*) Théorie des déterminants , p. 78.

( 391 ) (OX, OY, OZ) , (OX', OY', OZ') , de même origine, on peut déterminer une droite (OH) pcusant par r origine y et qui fasse av^ec les axes OX', OY', OZ' des angles HOX', HOY', HOZ' respectiuefnent égaux aux angles HOX,HOY, HOZ.

Il est facile d^établir l'existence de la droite en question dans ce dernier énoncé. Car, si Ton mène les bissectrices OA , OB des angles X'OX, Y'OY, et qu'ensuite on élève par OA et OB des plans pei^endiculaires à X'OX , Y'OY, Tintersection OH de ces deux plans sera précisément la droite cherchée.

En eflfet , il est clair qu'on aura d'abord HOX' = HOX et HOY'=HOY; d'ailleurs, X'OY'= XOY comme droits : donc les deux angles trièdres OHX'Y', OHXY ont leurs trois faces égales chacune à chacune, et, par conséquent, ces deux trièdres sont égaux dans toutes leurs parties. Il en résulte que les inclinaisons de la droite OH sur les plans OX'Y'^ OXY sont égales entre elles; d'où il faut conclure que cette droite fait aussi des angles égaux avec les deux axes OZ', OZ perpendiculaires aux plans OX' Y', OXY. La proposition est ainsi démontrée.

L'égalité HOZ = HOZ' montre que la droite OH est située dans un plan perpendiculaire à ZOZ' et passant par la bissectrice OC de l'angle ZOZ'. Donc les trois plans respectivement perpendiculaires à X'OX, Y'OY, Z'OZ, et menés par les bissectrices OA, OB , OC des angles X'OX, Y'OY, Z'OZ se coupent suivant une même droite.

On peut, sans difficulté , reconnaître que les trois angles dièdres X'OHX, Y'OHY, Z'OHZsont égaux entre deux, et que la valeur de ces dièdres représente l'angle de la rotation qui amène l'un des deux systèmes d'axes à coïncider avec l'autre.

M, Brioschi di donné, de la proposition que nous ve-

• (392) nons d^exposer, une démonstration analytique qui offre une application remarquable de la théorie des déterminants.

Si l'on désigne par x^ y^ z les coordonnées d'un point quelconque de la droite cherchée (OH) , rapportée aux axes OX, OY, OZ; et par (aj , ij, Cj), («s, et? ^s)' (û8, fts, C3) les cosinus des angles que les droites OX', OY', OTJ forment avec les axes de coordonnées OX , OY, OZ; les égalités HOX'=H€)X, HOY'==HOY, HOZ'=:H0Z donnent lieu aux équations

(i) (a, — i)^ -H ^ij -4- <^i2 = o^

(a) . a,a:H- (fr, — 1)/ ■+■ CaZ = o,

qui représentent trois plans dans lesquels la droite que l'on cherche doit se trouver. Tout se réduit donc à faire voir que ces trois plans se coupent suivant une même droite, c^est-à-dire qu^on a

(^, — i), *,, c, «a, (^,— 1), Cj

^3> ^3> [Ci ï)

Or, c'est là une égalité que M. Brioschi a très-simplement déduite d'une proposition plus générale de la théorie des déterminants.

Il est à remarquer que les plans représentés par les équations (i), (2), (3) sont perpendiculaires aux plans X'OX, Y'OY, Z'OZ, et passent par les bissectrices des angles X'OX, Y'OY, Z^OZ; de sorte que cette solution analytique conduit au procédé graphique que nous avons indiqué pour déterminer la droite cherchée. G.