QUESTION DU PROGRAMME OFFICIEL
Epations les pins simples des hyperbeloîdes i ose nappe et à déoi nappes.
S'agît-il de trouver les équations des hyperboloïdes rapportés à leurs plans principaux , ou de représenter ces surfaces par des équations réduites au plus petit nombre de termes possible? La question ne manque pas d'intérêt pour les candidats à l'Ecole Polytechnique, car, aux examens d'admission, on a proposé de réduire Téquation
x*" 4- T.y'^ -\~ %yz = i
à sa forme la plus simple.
L'équation des hyperboloïdes rapportés à leurs plans principaux est , comme on sait,
— 4-^7 =dzi.
rem-
Mais , la différence de carrés , ( "^ ^^ j > peut être
placée par un rectangle (*7 + - ) X ( t U et il en résulte qu'au moyen d'une transformation de coordonnées, le premier membre de l'équation est réductible à deux termes. Pour effectuer cette réduction, il suffit de rapporter la surface aux trois plans
(•) Les deux premiers sont tangents au cône asymptote
et le troisième passe ]»at les deux génératricch de contacl.
puisque les fonctions T + -j~ deviennent alors des
monômes.
D'après cela on voit que les byperboloïdes peuvent toujours être représentés par une équation de la forme
M.r'4-Njz=: P,
et cette équation est évidemment Téquation la plus simple des byperboloïdes, si Ton fait consister la plus grande simplicité dans le plus petit nombre de termes.
La détermination des coefficients M, N, P de l'équation réduite ne présente aucune difficulté d'analyse-, les j valeurs de ces coefficients s'obtiennent par l'application I des formules de la transformation des coordonnées.
Pour considérer le cas le plus général, supposons qu'un hyperboloïde soit , d'abord , donné par l'équation complète i
^*^ f -+- 2Cjr4- 2C'/ -f- 2C"a-hD = o. j
La résolution des équations
fera connaître les coordonnées a, P, y du centre. Et, en en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes, au centre , l'équation de l'hyperboloïde deviendra
(2) Ax2-4-A'72-hA''r'-h2Bj2-+-2B'x«-f-2B*'iPr = P,
en désignant par P la quantité connue
— (Ca -+-€'6 4-^^7 H- D).
On pourra ensuite, par la décomposition en carrés de la fonction quadratique,
A.r--+-A'j^-f-A"c'-+-Bjz-f-2B'u:z-h2B"j7,
{ 395 ) donner à Téquation (2) la forme
et il ne restera plus qu^à rapporter la surface aux trois plans
(4) GY-f-H2 = o, GY — HZ=:o, X = o, pour que son équation se réduise à
(5) Mx»-HNrz = P.
Remarquons que pour établir les formules de transformation de coordonnées qui servent à rapporter la surface au système défini par les équations (4), il suffit de connaître les cosinus des angles que les nouveaux axes forment avec les anciens. Or les nouveaux axes ont pour équations
(Y = o,Z=o), (GY4-eZr=o, X=:o), {GY-hHZ=o, X = o),
et Ton sait comment se déterminent les cosinus des angles qu'une droite forme avec les axes , lorsque ses équations sont données.
Comme exemple, considérons Thyperboloïde à une nappe déterminé par l'équation
x' 4- 2/* 4- 2/« = I OU or^ -h 2>'(j -h 2) = I.
En rapportant la surface aux trois plans r=o, 7r+-z=:o, x = o, son équation prend la forme
^24- h.yz=z 1; h est une constante dont il faut trouver la valeur.
(396) Les nouveaux axes ont pour équations
(r=rO, Z = o), (^-f.Z=:0, X = 0), (^=0, JC = o)j
il en résulte que si l'on désigne par
les angles qu'ils forment avec les anciens axes supposés rectangulaires, on aura
ces a = I , ces 6 = o , ces y = o ;
cosa=o, cos6' = -r> COS7 ==— ;
ces a" = o , ces 6* = o , ces 7"== i .
Par suite, les formules de la transformation des coordonnées deviendront
va V2
La substitution de ces expressions à x, j^, z dans
donne immédiatement
jc'j — yz'\/2 = i ou ^' — JZ^ = I,
pour équation réduite au plus petit. nombre de termes. On trouvera de même que l'équation
se réduit à
f! 4rg
lorsqu'on rapporte Thyperboloïdc aux plans que les équa-
Uons
b ' c"^' h c représentent
