III. Évaluer l'intégrale définie
OÙ V est la fonction de x qui a été définie plus haut.
I. L'arc de la courbe est donné par la formule ds* = (i 4- 36a?* -h i6a?«) dx^.
En extrayant la racine carrée. du polynôme entre parenthèses, on trouve tes identités :
(i) I -h 36ir*-4- i6ar« = (i -i- i8j7*)»h- 4a:«(4 — 8ia:«)
et
) =(i-*-i8ar*-|- 8276)»— 278(3-24 H-a88a7»H-64a:*).
L'identité (i) prouve que, lorsque 4 — 8ia7«>o, c'est-à-dire, lorsque (x positif)
( 372 ) on a
L'identité (2) montre que, quel que soit x^ on a toujours
^ <(i-hi8a:*-h8a76)«;
on en conci
ui(a.<3).
ds
et, en intégrant de o à :r,
11. L'équation du plan osculaleur, en un point A de la courbe d'abscisse x, esl
ix^X — arY-t-Z — x^ = o.
Écrivons qu'il passe par le point B de la courbe d'abscisse x' et nous obtenons la condition
(3) 'ix^x' — ixx'^-hx' — x^ = o.
Celle condition élanl symétrique en x elx', prouve que, si le plan osculaleur de A passe en B, réciproquement le plan osculaleur de B passe en A. Les doux plans osculateurs se coupent donc suivant AB.
La relation (3) s'écrit
el, par suite, puisque x'^x, elle donne x' = — x;
( 373 ) on en conclut
I^es points A et B sont symétriques par rapport à O 5.
Les cosinus directeurs de la perpendiculaire au plan
osculaleur, A, en faisant avec Oz un angle aigu sont :
