CONCOURS D'ADMISSION A L'ÉCOLE NORMALE SUPÊRIEIJRE EN

Douzième composition de Mathématiques (Sciences I et II).

Solution par M. Jean SERVAIS.

En supposant C espace rapporté à un système de coordonnées rectangulaires OX, OY, OZ, on considère la courbe définie par les équations

I. Montrer que Carc de cette courbe^ compté à partir de l'origine des coordonnées jusqu'au point dont l^ abscisse est le nombre positif x, est compris

entre x -{- -r x^ et x -^ -r ^^ -^ - ^"^ pour les valeurs

suffisamment petites de x ; on prouvera que cet arc est toujours inférieur à la seconde limite, et quHl est certainement supérieur à la première pour

II. Montrer quil existe sur cette courbe une infinité de couples de points A, B tels que les plans (P)^ (Q) respectivement osculateurs à la courbe en A, B se coupent suivant la droite qui joint ces deux points.

Soit V l'angle (moindre que deux droits) des directions, perpendiculaires aux plans (P), (Q), qui font des angles aigus avec la direction positive sur l'axe des z ; comment varie cet angle quand l'abscisse x du point A croit Je o à -h oo ?

Calculer, à un demi-millième près, la valeur de X pour laquelle V angle V est droit.

Montrer que les droites AB qui joignent deux points d'un même couple sont situées sur la surface dont V équation est

Séparer cette surface en régions d'après le nombre de plans osculateurs à la courbe proposée qui passent par ses différents points.