CENTRES DE PERCUSSION

I. Triangle, — Soient ABC, UEF les deux bases d'un tronc de prisme dont les plans se coupent suivant la droite yy'\ si l'on se reporte à la recherche du centre de gravité du tronc de prisme, le point que nous avons appelé P est le centre de percussion du triangle ABC par rapport à la droite d'intersection j^j^' des deux bases du tronc.

On sait que les moments et le produit d'inertie A\\n triangle, par rapport à deux droites orthogonales de son plan, s'obtiennent en considérant la masse du triangle, comme condensée en trois masses égales, appliquées respectivement aux milieux des côtés du triangle.

Le produit (rinertie par rapport à deux droites orthogonales xx\ yy' du plan du triangle, en remarquant que les j; des points A, B, Csont proportionnels à a, 6, c, devant être nul, on aura

3(a-f-6-hc)Y-h ayx -h by^ -f- cy^ — o.

Donc la droite Ox doit passer par le point P pour que le produit d'inertie soit nul. Le point O, projection du point P sut yy^ est donc le point pour lequel cette droite est axe principal d'inertie par rapport au triangle. On démontrera donc que P est le centre de percussion si le moment d'inertie du triangle est égal à

S X GQ X PO,

G étant le centre de gravité du triangle el Q sa projection sxxv yy , Or

GQ = ,

p^ __ axx-^ bx^^ CJ?aH- ( a -h 6 -4- f ) ( a^i -h .Tj -h 3"} )

Il faut donc prouver que

i ax\-^bXi-^cx^-^(a-^b-^c){Xx -+- ^i -»- -Ti ) I

ou, en remplaçant :r,, Xa, x^ par les quantités propor-

( 4o5 ) tionnelles a, 6, c,

-hcy

-hac

bc),

ce qui est une identité.

Donc le centre de gravité du tronc de prisme se trouve au milieu de la droite qui joint les centres de percussion des deux bases par rapport à la droite d'intersection de leurs plans.

Théorème. — Soient ABC La base d'un prisme et yy une droite de son plan. Si Von mène par cette droite un plan qui coupe le prisme suivant le triangle DEF, G désignant le centre de gravité du triangle ABC et M le centre de trois forces parallèles A.D, BE, (^appliquées e/i A, B, C ef égales aux arêtes du tronc :

x"^ Le point P situé au quart de GM à partir de G est le centre de percussion du triangle par rapport à la droite;

2** Le point O, projection de P sur la droite, est le point pour lequel la droite est axe principal d'inertie;

3® Le carré du rayon de giration est égal à la puissance du point O par rapport au cercle qui a GP pour diamètre;

4" Le centre de gravité du tronc de prisme se trouve au milieu de la parallèle menée par P aux arêtes et limitée aux deux basses du tronc.

En particulier y le centre de percussion d'un triangle par rapport à une parallèle à un côté, menée par un sommet, est sur la médiane issue de ce sommet, au quart de cette médiane à partir du côté opposé, et le centre de percussion d'un triangle

par rapport à un côté est au milieu de la médiane issue du sommet opposé,

II. (Jii calcul loiit semblable fournît un théorème analogue dans le cas du tronc de parallélépipède. En particulier^ le centre de percussion d'un parallélogramme par rapport à un des côtés est au tiers de la ligne médiane à partir du côté opposé, et le centre de percussion par rapport à une parallèle à une diagonale passant^ par un sommet «-si, à partir du sommet, aux -j^ de la diagonale issue de ce sommet.

iGKÉGATIOK DES SCIENCES MATIIÉWATIQUES (GO\COI]RS DE 1906).

Sujets des compositions.

Mathé matiques élémentaires.

r Étant donné un triangle ABC ayant pour côtés BC ^ a, CA â= 6, AB = c; trouver, dans le plan de ce triangle, le lieu du point M tel que

(i) ±a.MÂ*ifc ft.MB*dbc.MG* = abc,

en prenant toutes les combinaisons de signe possibles. ?/* Le lieu correspondant à l'équation

ô.MB^-hc.MC -^aJ/Ûi^^abc

est un cercle Sa- On trouverait de même un cercle Sb et un cercle Se. On considère tous les triangles ABC inscrits à un cercle donné et circonscrits à un deuxième cercle donné et intérieur au premier : Calculer la somme

pI"^ pï^ pV

( 4«>7 ) PA, pB) Pc désignant les rayons des cercles Sa, Sb, Se- 3° Calculer les puissances des sommets A, B, C et des ceatres des cer les inscrits et exinscrits au triangle ABC par rapport an cercle Sa- Déterminer les points d'intersection de ce cercle Sa et des cùléft du triangle ABC.

AB 4** Si les sommets B, G restant fixes le rapport jj; demeure

invariable, le cercle Sa est orthogonal à un cercle fixe.

5" On donne le cercle Sa, le cercle exinscrit au triangle ABC et situé dans Tangle A, ainsi que le point de contact de ce cercle et du côté BC. Trouver l'enveloppe de la droite joignant les points de contact de ce cercle exinscrit et des côtés AB, AC.

6** Lieu du point M vérifiant l'une des équations (i) quand ce point n'est plus assujetti à rester dans le plan ABC.

Afa thématiques spéciales.

I. On considère la courbe dont Téquation est, en coordonnées rectangulaires,

(a?* ^-J*)* — ax(x*-hy^ ) — a^y* = o,

et l'on demande d'exprimer a? et j^ en fonctions rationnelles d'un paramètre, de construire la courbe et de trouver les relations qui lient les valeurs de ce paramètre correspondant à quatre points situés, soit sur un cercle ne passant pas par l'origine, soit sur une droite passant par Torigine.

II. Soient Mf le point où le cercle osculateur en un point M rencontre de nouveau la courbe, Mj le point où le cercle osculateur en Mi rencontre de nouveau la courbe, etc.; démontrer que, si quatre points M sont une droite D, les points Ml correspondants sont, en général, sur un cercle orthogonal à un cercle fixe, si D varie. Si les points Mi sont sur une droite D|, les points Mj sont sur une droite D,, et ainsi <le suite; trouver la position limite des droites D, D,, D,, ....

Si quatre points M sont sur un cercle C, les points Mj correspondants sont, en général, sur un cercle C| ; démontrer que, s'ils sont sur une droite, il existe deux points fixes P

el P' d'où Ton voit sous un angle droit les segments déterminés sur Ox par les cercles G. Dans le cas général, les points Mj sont sur un cercle Gj, etc.; quelles conditions doit remplir le cercle G pour que les points Mp soient sur une droite ; dans l'hypothèse où tous les points obtenus successivement sont sur des cercles Gi, Gj, ..., trouver vers quelles limites tendent les puissances, par rapport à ces cercles, des points de la courbe située sur Ot; en déduire la limite de ces cercles.

m. Trouver le lieu d'un point A tel que quatre des points de contact des tangentes issues de ce point soient sur un cercle V ; quel est le nombre des tangentes réelles menées de A?

Démontrer que le cercle T est orthogonal à un cercle fixe et trouver le lieu do son centre.

Composition sur l'Analyse et ses applications géométriques.

i" Soient a:, ^, z les coordonnées cartésiennes d'un point quelconque d'une surface S \ p el q les paramétres directeurs du plan tangent en ce point, définis par la relation identique

( I ) dz ^ p dx — q dy = i}\

exprimer ces cinq quantités à l'aide de deux paramètres variables a el p, de manière à vérifier, outre la relation (i), les suivantes :

(■2) Z'-px — qv = a,

(4) />4-yP = i/(a, P),

a (a, p) étant une fonction donnée de a et de p.

Si l'on prend a et p comme variables indépendantes, il existe, en général, un système et un seul de cinq fonctions X, y, -8, /?, q satisfaisant aux conditions précédentes et on l'obtient sans aucun signe de quadrature.

Faire voir que la surface S ainsi obtenue se réduit à une

courbe si r— - = o, et dans ce cas seulement.

Former Féquation différentielle des lignes asymptotiques de la surface S, dans le système de coordonnées curvilignes a, p. Montrer que les lignes i = const., p = const. sont conjuguées sur S. Les développables circonscrites à la surface suivant les lignes a = const. sont des cônes. Quel est le lieu des sommets de ces cônes ?

7.^ Pour que les développables circonscrites à S suivant les lignes p = const. soient également des cônes, il faut et il suffit que la fonction u soit de la forme

u= AB -♦- a B, -f- B,,

où A est une fonction quelconque de a seule ; B, Bi, Bs trois fonctions quelconques de ^ seule.

Si l'on choisit de toutes les manières possibles la fonction A (les fonctions B, Bi, Bj étant, au contraire, prises une fois pour toutes), la surface S ne cesse pas de vérifier une certaine équation linéaire aux dérivées partielles

(5) Py> + Q^ = R

où P, Q, R sont des fonctions de a?, y^ z. Quelles sont les caractéristiques de cette équation?

Le lieu des sommets des cônes circonscrits suivant les courbes |3 = const. est le même pour toutes les surfaces intégrales de Téquation (5).

3» Gomment doivent être choisies les fonctions B, Bi, Bj pour que ce lieu soit une droite D (non située dans un même plan avec Taxe des -s) ?

Montrer qu'on peut alors, sans diminuer la généralité, ramener les fonctions B], B^à être des polynômes du premier degré en p.

Comment s'intégrerait l'équation des lignes asymptotiques des surfaces S ainsi obtenues?

Que trouverait-on en rapportant ces surfaces à de nouvelles coordonnées ayant pour axe des z la droite D ?

Quelle relation ont-elles avec les surfaces analogues que Ton obtiendrait en faisant jouer à la droite D le rôle de l'axe des z primitifs, et à celui-ci le rôle de la droite D ?

A quelle forme simple pourrait-on ramener l'équation de l'une de ces surfaces par une transformation homographique?

( 4io )

Mécanique rationnelle.

Un solide de révolution homogène S est mobile autour de son centre de gravité, que Ton suppose fixe dans l'espace. Ce centre de gravité est le sommet commun à deux irièdres : l'un 0^1)^ fixe dans l'espace, l'autre Oxyz lié au solide, O^ étant dirigé suivant l'axe de révolution.

Un point P, situé sur O-s, à une distance donnée d du point O, est soumis à une force perpendiculaire à l'axe 0 2^ et dirigée vers cet axe; la valeur absolue de cette force est égale à A:Mp, k étant un coefficient constant, M la masse totale du solide S, p la distance du point P à O?;.

I" Former les équations différentielles qui servent à déterminer en fonction du temps les paramètres fixant la position du trièdre mobile.

2*' Si Ton suppose que Taxe du solide S est d'abord placé perpendiculairement à 02^ et que l'on imprime au solide une rotation initiale autour de O^ ; cette rotation persistera ensuite. Quelle valeur mini ma peut-on attribuer à la vitesse angulaire de cette rotation pour qu'elle soit stable, cVst-à-dire telle que, si l'on vient à troubler très peu le mouvement, l'axe O^ reste indéfiniment très voisin du plan ÇOt) ?

3** En supposant que l'axe O 2 est placé primitivement d'une manière donnée quelconque et que la composante suivant 0^ de la rotation initiale est donnée différente de zéro, quelles doivent être les autres conditions initiales du mouvement pour que O^ tende, lorsque le temps croit indéfiniment, vers une position limite perpendiculaire à O^? Dans le cas où ces conditions sont remplies, quelles sont les principales circonstances du mouvemc!it?

x" Etudier le mouvement dans le cas particulier suivant : le solide S est constitué par une tige rigide de masse négligeable, dirigée suivant O^, et par deux disques circulaires identiques, ayant leurs centres sur Oz et leurs plans perpendiculaires à cet axe. à une distance du point O égale à — •

Pour chacun des disques, la naasse, représentée par m, est supposée répartie uniformément sur une circonférence de rayon égal à /. Le point P est le centre de l'un des disques et le coefficient k est égal à 2. Les conditions du n° 3" sont rem-

{ 4ii )

plies et la composante suivant O^ de la vitesse angulaire de

la rotation initiale est égale à --=•

sj'l

Trouver le lieu de l'axe Oz du solide.

5° Les conditions du n** 3° étant remplies pour un solide de révolution S quelconque, on imprime à ce solide, à un certain moment, une percussion de grandeur donnée et de direction perpendiculaire au plan zO(. Suivant quelle ligne d'action faut-il appliquer cette percussion pour que l'axe O3, dans le mouvement ultérieur, tende vers une position limite perpendiculaire à 0(? Comparer le nouveau déplacement de l'axe O^ avec celui qui aurait eu lieu sans la percussion.

Note, — La position du trièdre mobile par rapport au trièdre fixe sera déterminée par les angles d'Euler, 6, <|^, 9. Si A et C désignent les moments principaux d'inertie par rapport à Oa? et Oz ; /?, ^, y y r les composantes de la rotation suivant Oa?, O^, 0« et tiT la force vive du solide, on rappelle les formules suivantes :

p = <}/'sin 9 sin çp -h 6'cos cp q = <|;'sin 6 cos <p — 6' sin cp r = <]/' cos 6 -{- ç' 2T = A(/?«H-^«)-hCr« = A(sin»e<j^'«-he'*)-{-C(<|;'cose-i-<p')«.

AGRÉGATION DBS SGIBNGBS MATHENATIQUES (CONCOURS DB 1906).