MG = A,C — A,M
( 4i3 ) et, en tenant compte des valeurs de
AiB =: 7 y Al G =
il vient
Si nous prenons le point M à rinlerseclion de la circonférence dont le rayon est donné par Tégalité précédente et de la circonférence de centre A et de rayon R, nous voyons que le lieu cherché S^ peut être déterminé par la relation
(3) {b -4- c) MÂ7'- aMÂ*= abc tlt^-^I^.
Le théorème de Stévin nous montre que S^ est une circonférence dont le centre I, situé sur la bissec-
lA a trice AA|, est fixé par la condition -r~ = g •
Or, si Ton désigne par r le rayon du cercle exinscrit relatif à l'angle A, par h la hauteur correspondante, nous avons
lA, __/;__.
lA ^ r-hh'
d'autre part, la surface du triangle ABC a pour expression
/ih b -h c — a
et Ton déduit
Donc, le point I coïncide avec le centre du cercle exinscrit envisagé.
Si dans Téquation (2) nous remplaçons R^ par
— R^, nous serons conduits aux deux relalions équivalentes :
bMÏB -h cMG V aSïÂ*= abc,
(6-hc)lVIAi -^aMk = abc — r >
' b -hc
le Heu correspondant est un cercle S\ dont le centre F est tel que l'on a
l'A "" lA '
Les quatre points A, Af, I', I sont conjugués harmoniques et le point I' est le cenlre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
En résumé, si Ton prend dans les équations (i) les
combinaisons de signes , on obtient comme lieux
du point M deux cercles S' et S^ concentriques respectivement aux cercles inscrits dans l'angle A du triangle donné.
Les deux combinaisons de signes donnent
des cercles Sg et Sq concentriques aux deux autres cercles exinscrits du triangle.
Les quatre autres combinaisons de signes résultent des précédentes en donnant au second membre des équations (i) une valeur négative; les lieux correspondants n'ont aucun point réel.
Remarque, — La relation (3) devient identique lorsque 6 -|- c = a, c'est-à-dire lorsque les trois points A, B, G sont en ligne droite.
Dans ce cas, quel que soit le point M de l'espace, on a l'identité de Stewart,
«» MB* -T- c Mc' — a MÂ^ = abc.
li esl clair que tous les points de Tespace situés sur la sphère qui passe par le grand cercle S^ satisfont à l'équation (3) et par suite à Téquation (i) équivalente.
IL Pour déterminer le rayon p^ de la circonférence S^ nous allons chercher les points de ce lieu situés sur la bissectrice AI {ftg. i).
Les deux triangles AMB, AMC nous donnent les relations
MB = MA -h c — acMAcos — ,
d'où
MG* = MA* H- 6* — 26MA cos ~ ,
6MB* -h cMG* = ( MA* -h 6c) (en- c) — 4^>cMA cos f ,
et, comme le premier membre a pour valeur
a nous avons Téquation
a MA -h abc.
oc cos —
MA — •! MA -h 6c = o,
qui détermine les points cherchés M et IVi^
Les segments AM et AM' situés sur le diamètre Al de la circonférence S^ vérifient les relations
AM.AM' = 6c, AMh- a M' p
— Al — r- •
cos -
La première nous donne la puissance du point A et la seconde nous donne la position déjà trouvée du centre de la circonférence S^.
(4.6) On peut en déduire le rayon
cos' —
et, subslituanl à cos^ — sa valeur ^ , -y il vient
Supposons que le triangle ABC se déplace de manière à rester circonscrit à un cercle de raj^on r' et inscrit dans un autre de rajon R; je dis que, dans ce cas, il est possible d'exprimer la somme
pï "*" pI H
à Taide de R et r'.
En effet,
p| abc pj abc pj "" abc '
la surface du triangle est abc
donc
PÎ ?1 pî ~ «^ "" 4Hr'*
III. Nous avons trouvé que la puissance du sommet A par rapport au cercle S^ était positive et égale à bc] cela nous permet de construire ce cercle.
On peut remarquer que, si l'on désigne par I, I', F, 1'" les centres des cercles inscrits au triangle ABC, on a
les égalités
et
AI. AI = bc.
Ar.Ar =-6c
AT* = 6c,
AT étant la distance du point A au cercle S^.
Les puissances des deux autres sommets B et C se
calculent de la même manière; elles sont négatives et ont pour valeurs absolues respectives ca et ab, La puissance du centre V est
a* abc
p.-ÏF'= ^'<'
et Ton trouve de même, pour la puissance des centres I" et F', les valeurs respectives
cos* —
-Pi
et
cos'
qu'il est facile d'exprimer à Taide de a, é, c.
Ann. de Mathémat., t\* série, t. VI. (Septembre 1906.) 27
Les points dMnlersection IVI et M' du côté BC du triangle avec ia circonférence S^ sont déterminés par les deux relations
BM.BM' = — ca, BK =y? — c,
K étant le milieu de MM'; Féquation qui détermine les points Mi d'intersection des côtés AC ou AB est
AMi — 2/7. AMi -h 6c = o.
