II. Montrer que les normales à la surface S

coupent le plan \0\ et le plan XOZ en des points dont le lieu, sur chacun des deux plans^ est une simple ligne. Partant de là, déterminer, sans intégration, les lignes de courbure de S.

Épreuve pratique. — Montrer a priori que, des deux intégrales

( 421 ) une seule a une valeur finie. Calculer cette valeur en passant par l'intégrale indéfinie. (Juillet 1906.)

Grenoble.

Épreuve théorique. — i' Recherche de la ligne de striction d'une surface réglée dont les génératrices sont normales à une courbe donnée S.

Cas des normales principales et des binormales.

Si 6 est V angle de la génératrice G qui coupe la courbe S e/i M avec la normale principale MN, on exprimera en fonction de 6 et des coordonnées de M la distance V du point N au point central Mi relatif à la génératrice G.

2" Déterminer 6 par la condition que la surface y lieu des normales G, soit développable.

Epreuve pratique. — Étant donnée l'équation

z\/ \ '^p*-^-q^=ia :

1" Trouver une intégrale complète de cette équation et sa solution singulière ;

1° Trouver une su/ face intégrale qui passe par une circonférence donnée, parallèle au plan xOy^ et ayant son centre sur Oz ;

3" Interpréter géométriquement les résultats.

LiUe.

Épreuve théorique. — Problème : Étant donnée la sur^ face représentée par l'équation

(œ) laz = mx^-^-ny^^

où a, m, n désignent des constantes (axes rectangulaires), calculer le volume limité par cette surface, le plan xOy et le cylindre

Former l'équation différentielle des courbes de la sur-

( 422 ) Jace (9) dont les tangentes font avec Oz un angle donné: intégrer cette équation quand n est nul ou égal à m.

Question de cours : 1° Définir une intégrale complète de V équation aux dérivées partielles du premier ordre à deux variables :

2" Faire voir comment on peut, d'une intégrale cornplète, déduire toutes les intégrales de l'équation (i).

3° Démontrer que deux intégrales complètes dijférentes conduisent à une seule et même solution singulière ; montrer comment cette solution singulière peut être déduite, a priori, de réquation (i).

4° Appliquer la méthode de recherche précédente à chacune des deux équations

(3) ^^px-^qy-^Ap^q)'

Montpellier.

Épreuve théorique. — Une surface rapportée à des axes rectangulaires a pour équation

soient a, P, 7 les angles de la normale avec les axes OX, OY, OZ.

i" Déterminer les fonctions f et ^ de façon que les rayons de courbure principaux soient reliés par la relation

(R-h R')cos7 = C.

2" Montrer que l'on peut choisir les fonctions f et ^ de façon que

( R — - R')cos Y tang a tang p

soit en même temps constant,

3" Déterminer les lignes de courbure de ces dernières surfaces, et les centres de courbure principaux.

( 4*3 ) Épreuve pratique. — Calculer l'intégrale

' x^— b^ s'inax ,

;— aX.

ar^H-o' X

(Juillet 1906.)

Rennes.

Épreuve THÉORIQUE. — I. 1" Calculer, en appliquant le théorème des résidus, V intégrale

r dz

prise dans le sens positif le long d*un cercle iC) de rayon i , ayant pour centre V origine ; n désigne un entier positif, a et ^ des constantes telles que

! a |< I et I M > ' •

2** On considère les intégrales

Je ^^ f (g*-+-i)rf^

où a désigne une constante positive et i le symbole y/ — i, ces intégrales étant prises dans le sens positif le long d'un cercle de rayon i ayant pour centre V origine. Calculer les valeurs de ces intégrales.

Z" Calculer les intégrales

J^ aH-tcos(p J^ {a

cos

tcosç)*'

oà a et i ont le mém^e sens que dans la question précédente, en faisant le changement de variable défini par r égalité

II. Les cuves Oxyz étant rectangulaires, on considère la courbe ( G ) dont la projection orthogonale sur le plan des X, y est la sinusoïde

y = sina?.

1° Former réquation différentielle à laquelle doit satisfaire la cote z d'un point quelconque de C, considérée comme fonction de l'abscisse x pour que les normales principales de C soient toutes parallèles au plan de coordonnées Oyz.

a" Prouver que, lorsque les normales principales de C sont parallèles au plan des yz, les tangentes font un angle constant avec Vaxe des x.

Ce résultat dépend-il de la forme sinusoïdale donnée pour la projection de C sur le plan des xy ?

3" La projection de G sur le plan des xy étant la sinusoïde donnée, indiquer la nature de la courbe C sachant que ses tangentes font un angle de ^5° avec Ox,

Épreuve pratique. — Étant donnés trois axes rectangulaires Oxj Oy, Oz et l'axe Oz étant supposé vertical, on considère la surface (S) définie par l'équation

zi = ^ ^a^—x*—y^,

oà l'on désigne par a une constante, et où l'on prend la valeur positive du radical ; puis le solide (A) limité latéralement par le cylindre

x^-\- yt— a^=: o,

en bas par le plan xOy et en haut par la surface (S).

i" Calculer le volume du solide (A).

2" Déterminer le centre de gravité du solide (A) en supposant sa densité constante et égale à p.

Toulouse.

Épreuve théorique. — I. Dans un plan rapporté à deux axes de coordonnées rectangulaires Ox et Oy, on considère sous le nom de courbes ( M ) les courbes telles que, si l'on représente par G le centre de courbure d'une telle courbe relatif au point M, par P la projection de M sur Ox et par T le point d'intersection de la tangente en M avec Oa7, l'aire du triangle CTP soit constante et égale à

trois fois l'aire d'un carré de côté donné -•

1° Exprimer les coordonnées x^y^ par rapport à Ox et Oy^ cP un point M d'une courbe (M) en fonction du coefficient angulaire t de la tangente e/i M à cette courbe.

a" Déterminer la forme générale des courbes (M) qui

partent de V origine O tangentiellement à la droite dont l'équation est

II. Lignes de courbure de la surface représentée en c oor données cartésiennes rectangulaires par l'équation

dans laquelle a, 6, c sont trois constantes.

Épreuve pratique. — On considère dans un plan un cercle de rayon donné a. En désignant par f l'angle des

tangentes issues d'un point quelconque P du plan au cercle et par de rélément d'aire du plan entourant le point P,

on demande de calculer l'intégrale S(çp— ^\ïif^)de

étendue à toute la partie du plan extérieure au cercle,

(Juillet 1906.)

CERTIFICATS DE MATHÊNATI«|]E$ PRÉPARATOIRES A LÉTUDE DES SCIENCES PHYSIQUES

Paris.

Épreuve théorique. — I. Les lettres x et y désignant les coordonnées d'un point M par rapport à deux axes rectangulaires Ox ei Ojr.

I* Calculer l'intégrale :

y^dx -Jrix^ — xxy ) dy le long de l'arc de cercle ACB décrit de O comme centre

avec l'unité comme rayon et situé dans l'angle positif des axes xOy\

2" Calculer la même intégrale le long de la corde AB ;

3" Reconnaître si l'expression

y^dx -h{x^ — 2xy)dy

est une différentielle totale exacte dPune fonction de deux variables indépendantes x et y\

( 427 ) 4" Déterminer un facteur X, fonction de la seule variable x^ de telle façon que le produit de V expression précédente par X :

"ky^dx -H X(a?*— 7.a:y)dy^

soit une différentielle totale exacte, et indiquer la fonction dont ce produit est alors la différentielle.