Acosx

II. Un point m dont la masse est a« est soumis à l'action de deux forces, à savoir :

I" Un poids p ;

a* Une force dirigée vers un centre fixe 0 ayant une intensité constante égale à celle du poids.

OL. Montrer que la résultante des deux forces dérive d'une fonction de forces U qu'on supposera nulle au point O. p. Déterminer et représenter les surfaces de niveau, Y- Calculer, dans le système G. G. S., le travail total effectué par la résultante des deux forces quand le point m passe de la position A située à i" au-dessus de O sur la verticale de ce point, au point B situé à o", 5o de O sur une horizontale issue de ce point.

$. Le mobile m est lancé du point À dans une direction quelconque avec une vitesse initiale de o™,o4 à la seconde et soumis à V action des deux forces. Appliquer au mouvement le théorème de la force vive et calculer la vitesse du point dans une quelconque de ses positions, on ne cherchera pas la trajectoire du point.

Note. — On appellera r la distance du mobile au point O et z sa hauteur au-dessus du plan horizontal passant par O. On prendra g = 980. (Juillet igoS.)

SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES

On projette un point M dune ellipse en P et Q sur les diamètres conjugués égaux. Montrer que le milieu I de PQ est situé sur la normale à V ellipse en M, e/ que le point de Frégier relatif à M est le symétrique de M par rapport à I. (E.-N. Barisien.)

SOLUTION Far M. Lktierge.

Prenons pour axes de coordonnées les axes de l'ellipse et soient acoscp, 6sino les coordonnées de M. Les équations des diamètres conjugués égaux sont

bx — £0)^ = 0 ( avec e = d: i ).

( 43. ) Les équations de MP et MQ sont

zax -^by — e a* cos cp — ^* sincp = o. L'équation générale des droites passant par P ou Q est \(bx — e ay) -\- tax -^- by — e a'cos^ — 6*sin^ = o

et déterminons X de façon que cette équation représente la parallèle à MQ menée par P et la parallèle à MP menée par Q. On trouve

et par suite les équations de ces deux parallèles sont comprises dans la formule

sa l — X — a cosç j — b [ 5 — y — 6 sin cp j =0.

Leur point de rencontre a pour coordonnées

X = — rr cos©,

bc^ y = — rr s«n cp.

qui sont celles du point de Frégier F relatif à M.

Par suite, le point I, point de rencontre des diagonales du parallélogramme MPFQ, satisfait bien aux conditions de l'énoncé.

Autres solutions par MM. Valkre Maës et J. Rose.

Sif dans le triangle sphérique ABC, l'angle A est de grandeur constante, et si l'on a

tancAB