SUR UN THÉORÈME DE WBIER8TRA8S

Pab m. h. laurknt.

Considérons une fonction f{z) synectique dans toute l'étendue du plan, soient a^a^* , . Uk ses zéros de module p, 6| 63 . . . 64 ses zéros de module p', etc., et supposons /(o) différent de zéro et

ri<p</î<p'< r,<....

Considérons la somme

. rfS±) x^ dz r/vo f! ^ rf{z)x^ dz rf(z)x* dz

J^J(z) z^ z-^x J^JÎJ) z^ Z-X

l'indice r^ placé au bas d'une inté|;rale indiquant qu'elle doit être prise le long d'une circonférence de rayon Vk décrit de l'origine comme centre.

Si l'on remplace les différences successives par leurs valeurs, on trouve dans l'une d'elles ou dans la pre-

* — — f ( 'c\ mière intégrale l'expression atcy/ — i yj-~>puis des expressions de la forme

-^ aiî/— I

af^ a — X

( 455 ) [qui devront être répétées a fois si a est racine d'ordre a de/(x) = o]. On a donc

l — /'(^) \^ a: I ^ jr* 1

d'un autre côté, s d'après cette formule est une fonction sjnectique <f{x) de x, et l'on peut la développer par la formule de Maclaurin, car on a

et pour X := o

On en déduit le développement de ^{x) par la formule de Maclaurin. La formule (i) ou 5 = <p {x) donne alors en intégrant

jr%(.)^=iog^-2p.'og(.-f)

1^1? Paj ••• désignant des polynômes du degré i, 2, ... et, par suite,

c'est la formule de Weierstrass, et nous avons une expression de la fonction ^ (x) qui était restée inconnue jusqu'à présent.

Il est bon d'observer que la méthode précédente ne

suppose par les zéros de f{x) simples, on peut les

supposer d^un ordre de mulliplîcilé quelconque, même

négatif, ce qui veut dire que -a, 6, c, ... peuvent être

des infinis def(x), dans ce cas les binômes ( i j >

figureront alors en dénominateurs.

AGRÉGATION DIS SCIENCES NATHRNATIOHES (CONCOURS DE 1906). SOLUTION DE LA QUESTION DE lÊCANIOUE RATIONNELLES;

Par m. le Comte de SPâRRË.