Soient

OR la trace du plan xOy sur le plan (Oy^;

OQ la perpendiculaire à OR dans le plan xOy^ qui

est, par suite aussi, la trace du plan zOX^ sur le

plan xOy\ if Tangle de OR avec OÇ; ç celui de Ox avec OR et 8 celui de Oz avec OÇ,

comptés de gauche à droite, par rapport à O^, OZ

et OR.

Désignons de plus par /?, q, r les composantes de la rotation OR, OQ et OZ {^).

OR, OQ, OZ étant axes principaux d'inertie, si C désigne le moment d'inertie axial, suivant OZ, et A le

(*) Voir renoncé dans le numéro de septembre (p. 4io)- (') Dans renoncé on désignait par /> et ^ les composantes de la rotation suivant Oj? et Oy^ mais il n'y a aucun intérêt à introduire ces composantes, et il vaut mieux considérer celles suivant PB et OQ.

( 457) moment d'inertie équatorial, suivant OR et OQ, on a, pour la force vive totale,

D'aillears

de sorte que

aT « A(e'« -♦- Y* 8in«e) ■+- C((p'-t- f cosO)*.

On a ensuite, pour la fonction des forces,

Si l'on désigne par co et X les valeurs initiales de r et <{/, on aura alors, en vertu des équations de Lagrange en ç et ^j/,

(l) Ç'-|-<|/'C096 = Cl),

(!&) Asinse^V' = Gqi(cosOo — C096j + AXsinsSo

Â ces deux équations, on joindra celle des forces vives, qui, en tenant compte de (i), s'écrira

J A(e'«-h^/'«9in«e) = A{ii«-hX«sin«eo)

j — A:Mrf«(sm«e — 8iii«e«),

OÙ |A désigne la valeur initiale de 0'.

Les équations (i), (2) et (3) déterminent 0, ^ et <]; en fonction de $, et résolvent par suite la première partie du problème.

En tirant de (2) la valeur de <{/'etla portant dans (3), on aura

IA6'« = A(ii«-i- X«sin*eo) -*- A:M rf«(co9*e — cos^Oo) [AXsin«eo-^Ga)(cos6o~cose)p Asin>6

(458) Le second membre de celle équalion esl posîlif pour 0 = 6^, il esl au lieu de cela négalif pour 0 = o, à moins que l'on ail ^

IA X sin'Bo — Cco(i — cosOo) = asm* — ( siAXcos* Cto) ) = o.

Il esl égalemenl négalif pour 6 = te, à moins que Tou ail

IAX8in*6o+ Gco(i-hcos6o) = 2 cos* — (aAXsin* — -f-Gcu) = o.

On voil qu'en général Q variera d'un maximum à un minimum.

Toulefois, si la condiiion (5) esl salisfaile, on aura

IAe'«=X(|i«-hX«9in«6o) -h A:M rf»(cos«e — cos«eo) — ^^ lang* -,

el 6 variera de 6, à — 0| (*) en passanl par zéro.

Si, au lieu de cela, c'élail la condiiion (6) qui étail salisfaile, [(5)el(6) ne peuvenlélresalisfaits en même lemps], on aurait

iAe'* = A(ii«H-X«»in«eo) ^ kM rf«(cos«e -- co9«eo) — ^^ COI» - » ' A a

el 0 varierail de O^ à 27r — O^ (^) ^Q passanl par n, % Si l'axe du solide esl placé perpendiculairemenl

(*) 0| étant la racine comprise entre o et ic du second membre de (4') égalé à zéro.

(') 0, étant la racine comprise entre o et k du second membre de (4') égalé à séro.

(459) à O^ et que l'on Imprime au solide une rotation autour de OZ, on aura

et, par suite, (4) devient

Ae'« = cos«6 /;tM ^ - -^^^) \ Asm» 6/

= ?^(;tMrf«A — G*a)* — >tMArf«cos»6),

et la valeur initiale de 0 = 90"; cette équation ne peut être satisfaite que pour *

6 = go», 6' = o.

Si Ton a

donc, dans ces conditions, on aura indéfiniment, pendant toute la suite du mouvement,

On peut d'ailleurs facilement vérifier que, si Ton dérange légèrement Taxe en donnant à [x et X des valeurs très petites, et prenant de plus 80 = 9o**-f- e©, où e© est très petit, 6 restera toujours très voisin de 90" pendant toute la suite du mouvement.

Posons, en effet,

Si nous négligeons les termes en e', ainsi que ceux en Ae', on aura

( 46o) ce qui peut s'écrire

i aCto)/. Giu \ /G«<o« X:Mrf«\ ,

Si nous supposons la condition (7) satîsfaûe, les racines du second membre sont réelles, car ce second membre est positif pour e = t^j et, au Heu de cela, négatif pour e = ± 00.

Si donc, on désî||;ne par y| el y^i ces deux racines, 7) étant la plus grande, on devra avoir

il>e>ili; de plus, si

n*est pas lui-même très petil, les racines y) et t^i seront elles-mêmes très pelites, car nous supposons Cq. [jl et A aussi très petits. En effet, pour |x = X = €0 = o, Y) et Y^i sont tous deux nuls.

Donc, 6 resle très voisin de 90^ lorsqu'on trouble très peu le mouvement.

Si d'ailleurs on néglige, ainsi que nous Tavons fait, les termes en e', on aura, en vertu de (8) et (9),

ndt=:

v/(7i — £)(£ — "ni)

d'où l'on déduit, en supposant t = t^ pour e = t), n(< — /o) = arc cos |

(,o) t = 3j1i!L« + !LzlZii co9/i(«- <o).

On aura ensuite, aver la même approximation,

C'est-à-dire, en tenant compte de (lo),

Mais

de sorte que

, , A:Mrf«A /Ga)Co .\

On voit que, si le solide est dérangé tant soit peu de sa position d*équilibre, qui correspond à

Co = X = jx = o,

0 restera très voisin de 90®, mais Taxe aura un mouvement de rotation très lent, le mouvement de précession moyen ajant lieu toujours dans le même sens, à moins que Ton ait

auquel cas il y aurait un simple mouvement d'oscillation, la condition (7) étant supposée remplie.

(46a) Si, au Heu de cela, on avait

(la) AS'

on tomberait sur les fonctions exponentielles au lieu des fonctions circulaires, et, par suite, e ne resterait pas très petit, quelque faible que fût le déplacement initial, et la rotation ne serait par suite pas stable.

On doit remarquer d'ailleurs qu'il faut non seulement que

G«cii« — A:M£^«A

soit positif, mais que de plus ce ne soit pas une quantité très petite de Tordre de X, |jl et s^, car, sMl en était ainsi, y\ et yji ne seraient plus très petits.

3. Pour que 8 tende vers 90", pour t infini, il faut que 0 = 90" soit racine double du second membre de Téquation (4)«

D'abord, pour que ce second membre soit nul pour 6 = 90", il faut

i A(pi«-hX*8in«eo) — A:Mrf»cos«eo (m) I (AXsin«eo-+-Ccocoseo)«

En tenant compte de cette relation, l'équation (4) s'écrira

[A-Mrf«cose 1

UAXsin*eo-+-C(Dcoseo)*cose ) I

Aàin»e J

Mais 0 =90° devant être racine double de la valeur •de 9'^, la quantité entre crochets doit être nulle pour 6 = 90°, ce qui exige

(i3) AX sin96o -h C« cosôo = o.

(463 ) Mais, si l'on lient compte de cette relation, TéquatioD (i i) devient

(i4) (JL«-+-X«sin«eo j— cos*eo = o.

Si Ton suppose a> et Oo donnés, on déduira de(i3)

et(i4)

Pour que cette valeur de [a soit acceptable, il faut

Si cette condition est remplie, on aura deux valeurs de [À égales et de signes contraires répondant à la question et une seule valeur de X.

Si Ton lient compte des relations (i3) et (i4) la valeur (12) de 6'* peut s'écrire

A 8in«eô'» = cos»e (kMd^ — ^^ — kM d* cos«6 V ce qui peut s'écrire

(18) , = dt,

formule dans laquelle, en vertu de (17), on a kMd^ C»a)»

Posons maintenant

* = Ai ' '^'^« = kMd^X^O^^ '

la formule (i8) deviendra

(19) OLdt — zt '=z=.l

/8éc«e — 9éc»e,

formule dans laquelle il faudra prendre le signe 4* si 0 crott avec /, donc si {jl est positif et le signe — si 0 décroît lorsque t croît, donc si |Ji est négatif. On aura donc

, . L , r séc 0 -h i/séc« 8 — séc* 64

sec 60 -H /séc^Oo— 9éc«e,

On a d'ailleurs, en vertu de (17),

et Ton en déduit

donc

Posons maintenant de nouveau

- séc 60 -h /séc O0 — séc* 61 7.ti = L r—K >

ti étant par suite positif en vertu de (i9). Nous aurons alors

^/i -4-#\ I séceH-/séc«e- séc^Oi

SCCUi

d'où Ton déduit

/ V a acos0|

(21) COSO ^ ■ •

^^^ ^al/.^O -^- g-3t(/,:fc/)

(465 ) Si {JL est positif, auquel cas il faut prendre le signe +> lorsque t croîtra de o à oo, cosO décroîtra de cosOo ^ zéro, et, par suite, 0 croîtra de 60 ^ 90**- Si, au lieu de cela, |Ji est négatif, il faudra prendre le sigoe — , et lorsque t croît de o à ^1, cosO croit de cosQo à cosOi, et, par suite^ 0 décroît de Oo à O1, puis, lorsque t croît de f| à 00, cosO décroît de cosOi à o, et 0 croît par suite de 0« à 90**.

On aura ensuite, pour le calcul de ^, en tenantcompte de(i3),

,, Cci) cos6 ,

ou, en vertu de (19),

^^ sinS v/i — séc*0, cos«e Mais

taDge. = ,

de sorte que l'on peut écrire

d'^ = zf. tangOi

y 9in*6

tangOirf(cotQ) /i — tang«0,cot»0' on en déduit

<|/ — 4^1 = i^i arc cos(tangOi cot6) (i)

(2a) langSi C016 = cos(4; — 4*1)-

Supposons maintenant que Ton ait pris, pour plan

(') 4^1 étant par suite la valeur de ^ qui correspond à 6 = 6,. Ann» de Mathémat,, 4* série, t. VI. (Octobre 1906.) 3o

( 466 ) !J0^, celui dans lequ^el ôe trouve Taxe OZ pour 6=6,, auquel cas ou a , * .

L^équation (22) devient

(1L1') lange = .^.^

Si d^ailleurs Ç, r,, t sont les coordonnées d'un point de OZ, on a

5 = p sin6cos(4; — 90") = psinÔsin*}', 7) = p sinO sin(4' — 90*) = — p sinÔ cos»]; Ç = p cos6, avec

et l'équation (22') revient à

| = lange„ ou (23) 5 = ÇtangOp

Le lieu de OZ est donc un plan.

On a ensuite

donc

tangO, cosO d^

do ^ (ii dt ^ cos ^ d^ = (jùdt ±:

df = (ù dt :

sin 0 /i — séc* ôj cos* 0

tang6i rf(coséc6)

/coséc* 0 — séc* Oi cot^ 0 ou enfin

sineirf(cosécO) d^ = (jidtzç: - •

y/i — sin*0icoséc*0

( 467 ) Donc, en définitive,

(p-«p, = (o(<-f,)±arccos/'îiî^') (1)

\ sm 0 /