Dans le cas particulier on a

A= 2 ^- mJ^^m — j = 2/?î/» = C,

L'ellipsoïde d'inertie pour le point O est donc dans ce cas une sphère.

De plus

/a de sorte que

G*co* = a/n*/*, et Ton en déduit

«1 = 1, séc«ei = -2, 0, = 45'.

L'équation du plan lieu de OZ est donc, avec le choix que nous avons fait du plan JJOÇ,

De plus, on a

cotO = sin4',

9 = to^zfc arc cos

\v/2sin9/

/- - séc 6o -4- i/séc* Oa — 2 ^1 = /2 L îî 1-- 2

(») 9, étant la valeur de <p pour 6 = 0, cl f, la valeur correspondante de t.

( 468 ) On voit en dëfînilive que ce cas ne présente rien de remarquable; toutefois, Tellipsoïde d'inertie étant une sphère, le théorème des mouvements des quantités de mouvement appliqué par rapport à O^ donne

A(<)/'-f- çp'cosO) = const., donc

^' -+■ ç'cosO = const. =0 (*).

Il est facile de vérifier ce fait, on a en effet dans ce cas cocos 6

o' = a> — d;' cos 0 = -t-z^ y

sin*e '

d'où Ton déduit

<^'-H tp'cosô = o.

Donc, si Ton décompose la rotation instantanée suivant les trois directions fixes 0$, Ot;, Os, la composante suivant O^ est nulle. On conclut de là que le lieu de Taxe instantané par rapport aux axes fixes OÇ, Oti, 02^ est le plan OÇtj.

Il semble que ce soit la seule particularité qui se présente dans ce cas particulier.

5. Si l'on imprime au solide une percussion perpendiculaire au plan ZO!^, donc parallèle à OR, la somme des moments des quantités de mouvement par rapport

(>) On a en effet

^'^ = \j ci = w — ^ cosOf, et, par suite,

^0 + ?o cos8o = \ sin'Oo -+- w cos9, = o,

en vertu de l'équation (i3) qui, si A = C, se réduit bien à y, sin'Oo -+- w cosôo = o.

( 469) à OR ne changera pas, et, comme celte somme est AO'^ la valeur de 0' ne changera pas pendant la percussion. Or nous pouvons prendre comme instant initial du mouvement précédant la percussion un moment quelconque de ce mouvement, et, si nous prenons celui qui précède immédiatement l'instant où la percussion se produit, on aura, au moment de la percussion,

0'=fx, y = \.

Or, d'après ce que nous venons de dire, 8' ne change pas pendant la percussion. On aura donc encore, après cette percussion,

Si d'ailleurs X, désigne la valeur de X et w, celle de co, après la percussion, on devra avoir, d'après ce que nous avons vu, pour que, dans le mouvement subséquent, OZ tende vers une position particulière perpendiculaire à OtJ (•),

^ __ Cu)| cos6o '^'-~ Asin«e, '

Ces équations doivent ici servir à déterminer co, etX|. D*ailleurs co el\ (valeurs avant la percussion) vérifient, en vertu des relations (i5) et (i6), les équations

(*) Équalions (i5) et (i6).

(^) Og désigne ici la valeur de 6 au moment où la percussion se produit.

(476) On'déduil par suite de: là

(0| = ± (o, Xj = ± X,

les signes se correspondant.

Comme on ne peut prendre (o = (0|y X = X|, car il faudrait alors qu'il n'y eût pas de percussion, on devra prendre

(0 = — wi, X = — Xj.

Désignons alors par P la percussion et par u et v les coordonnées de son point d'application dans le plan QOZ, par rapport aux axes OQ et OZ, le théorème des moments des quantités de mouvement par rapport à OQ et OZ donnera, si l'on désigne par '^^ et r^ les valeurs de i^' et r après la percussion,

AsinOo(f-4^;)-Pi' = o C»), G(r — r,)-hPM.

D'ailleurs, d'après ce que nous venons de dire, on a 4;' = X = — »t;, /• = w = — r,.

On aura donc

aAX sinOo — Pp = o, 2 G (i> -H P u = o, et l'on en déduit

(24) Gwt'-H AX sinOoM =s o.

Mais les composantes de la rotation instantanée dans le plan ZOQ sont

(0 et XsînOo, suivant OZ et OQ.

(') 60 désignant toujours ici la valeur de 6 au moment où lapercussion se produit.

■( 4-7- ..) De sorte que réquation de la projection de l'a\e instantané sur le plan ZOQ est

de plus, Téquation de la section de Tellipsoïde dMnertie par le plan ZOR est

et Téquation du diamètre conjugué de la direction (26) dans l'ellipse (26) sera précisément la droite (24)»

Donc, pour que le mouvement qui se produit après la percussion, OZ, tende vers une position limite perpendiculaire à O!^, il faut que cette percussion soit appliquée suivant une ligne d'action qui est le diamètre conjugué, dans la section de l'ellipsoïde d'inertie par le plan ZO^, de la composante de la rotation instantanée dans ce plan, au moment où la percussion se produit.

Quant au mouvement subséquent qui se produit après la percussion, comparé à celui qui se serait produit sans l'intervention de la percussion, il en diffère, d'après ce que nous avons vu, par le changement de to en — (0, et de X en — )..

Or, dans l'expression de 0', o) ne figure que par son carré (*), donc les valeurs de 8 seront les mêmes dans les deux cas, puisque Q pari de la même valeur initiale.

Au lieu de cela, les valeurs de <]>' seront égales et de signes contraires, et il en sera de même de celles de. ç'.

( * )• Il faut d'ailleurs prendre dans les deux cas le même signe dans l'expression de 0', puisque la percussion ne modifie pas celle quantité.

(470 - Il résulte de là que, si ^q est la valeur initiale de i au moment où la percussion se produit, on devra, pour passer d'un mouvement à l'autre, remplacer A — à^ par ^0 — ^? et, de plus, les composantes de la rotation suivant OZ seront égales et de sens contraire.

On conclut de là que le nouveau déplacement de Taxe OZ, après la percussion, sera sjmétriqnepar rapport au plan passant par 02^, et la position de OZ au moment où la percussion se produit, de celui que OZ aurait pris sans la percussion.

Remarque. — Je crois devoir faire suivre cette solution de la remarque suivante : ce problème est sans aucun doute très bien choisi et intéressant, mais on ne s'explique pas très bien pourquoi l'on a ajouté le n° 4, en demandant l'étude du mouvement dans ce cas particulier, et en se bornant à en demander ses circon- ■ stances principales dans le cas général (n° 3). Le cas général se traite en eflet tout aussi simplement que ce cas particulier, et les résultats sont tout aussi simples.

Il semble qu'il n'y ait autre chose à faire que de traiter d'une façon complète, ainsi que je l'ai fait, le cas général (n" 3), et d'appliquer ensuite les résultats au cas particulier (n° 4), en se bornant à constater qu'il ne présente rien de spécial.

Si, au lieu de cela, on suivait la marche que semblent indiquer les données, en se bornant à une étude sommaire du cas général, et en traitant complètement le cas particulier, on serait, pour cette étude du cas particulier, conduit aux mêmes calculs que l'on aurait eu à faire pour traiter complètement le cas général, et l'on aurait été conduit à traiter successivement deux questions qui n'en font au fond qu'une.

Il j a lieu aussi de remarquer que la note qui suivait l'énoncé indiquait de considérer les composantes

(473) de la rotation suivant Ox et Oy, tandis qu'il était plus simple de considérer, ainsi que je l'ai fait, les composantes suivant OR et OQ, d'autant plus que l'on était par là plus naturellement conduit à reconnaître que, dans le n® 5, la ligne d'action de la percussion doit être le diamètre conjugué de la composante de la rotation dans le plan ZOQ,