TT' = T'T

Voici le postulat qui, dans cette nouvelle Géométrie, remplace l'ancien postulat d'Euclide. Ceci revient donc à dire que Ton admet que les translations reclilignes forment un groupe et, puisque ce postulat est le seul dont nous aurons besoin dans la suite, on en doit conclure qu'il caractérise la Géométrie euclidienne lorsqu'on se place au point de vue de Sophus Lie (*).

8. Produit de plusieurs tra^slatiokis. — La définition cju produit de deux translations, grâce au postulat qui précède, s'étend immédiatement, de proche en proche, à un nombre quelconque de facteurs. Les produits de translations ainsi définis jouissent des mêmes propriétés coinmulatives et associatives que les produits de nombres.

En particulier, le produit de m fois la même translation T sera nommé la puissance m'^*^* cje X et sera représenté par \e symbole ï^".

(*) Mon collègue et ami M. Tresse m'a communiqué que tes travaux de Lie ont établi que le groupe des mouvements euclidiens est le seul qui contienne un sous-grnupe distingué et que ce sousgroupe est celui des translations.

(489) Les deux propositions suivantes sont d'ailleurs évidentes :

Le produit d'une translation par la translation identique est égal ^ cette première translation.

Car la translation Tl est celle obtenue en effectuant d'abord la translation T, puis la translation 1 ; or, cette dernière ne change la position d*aucun point, donc

Le produit de deux translations inverses est égal à la translation identique.

Car si, sur une figure /, on effectue sucçessiveiDçi|t les deux transi» tions T et T""*, d'après la définition même de T"*, on la ramène à sa position initiale. On a donc

Ceci montre que — i, dans T"', se comporte comme un véritable exposant négatif.