Théokème. — Dans toute translation rectiligne

i" La trajectoire d'un point mobile est un segment de droite et cette droite est une glissière;

2° Tout plan passant par une glissière est un plan de glissement.

Soient M et M' les positions initiale et finale d'un point mobile m dans une translation rectiligne T, et P un plan quelconque passant par la droite MM'.

La translation T' de glissière MM' et de plan de glissement P qui amène M en M' est, d'après le théorème précédent, égale à T.

Or, dans cette translation T', le point m a pour trajectoire MM', la droite MM' est une glissière et P un plan de glissement, il en est donc de même pour T.

Inversement, toute glissière est évidemment la trajectoire commune de tous les points mobiles situés sur elle.

On en conclut qu'tV n'y a pas d'autres glissières que les trajectoires des points mobiles, et que, par suite, par tout point de l'espace il passe une glissière, et une seule, qui est la trajectoire de ce point.

On peut prendre, comme glissière d'une translation, toute droite joignant deux points homologues dans la

( 49' ) translation, et pour plan de glissement tout plan passant par deux tels points.

// en résulte qu'une translation est parfaitement définie dès qu^on se donne un couple de points homologues A et A'.

Car elle aura pour plan de glissement un plan quelconque P passant par AA'et pour glissière la droite AA'. C'est donc la translation obtenue en faisant glisser un plan mobile p sur P, de façon qu'une droite d de p glisse sur AA', et qu'un point a de p décrive le segment AA', ce qui détermine le déplacement de p.