II. - DROITES PARALLÈLES

11. Définition. — Deux droites de l'espace sont dites parallèles lorsque l'une se déduit de l'autre par une translation rectiligne,

12. Théorème. — Deux droites parallèles D et D' qui ont un point commun A coïncident.

Soient en effet T la translation par laquelle D' se déduit de D, et A' l'homologue de A dans cette translation.

I® Si A' coïncide avec A, la translation T est égale à 1 ; tout point coïncide avec son homologue, donc D' coïncide avec D.

2** Si A' et A sont distincts, A' est situé sur D' homologue de D. Or, par hypothèse, A est aussi situé sur D'. La droite D' coïncide donc avec la glissière AA' : c'est une glissière deT et elle coïncide avec son homologue D.

13. Théorème. — Deux droites parallèles distinctes D^/D' sont situées dans un même plan et ne se rencontrent pas.

P'abord il est évident que les de||x droites n^opt aucun poiot commun, car, sans cela, diaprés ce qui précède, elles ne seraient pas distinctes.

Soient alors A un point de D et k' son homologue sur I)' dans la translation T qui amène D en D'. Désignons par P le plan déterminé par le point A' et D.

La droite AA' étant une glissière, le plan P qui la contient est un pian de glissement; par suite, dans la translation T, la droite D reste située dans le plan P, qui contient donc D'.

14. Théorème. — Deux cb'oites D et {^'parallèles à une troisième D" sont parallèles entre elles.

Soit T la translation qui amène D en D^ et T' la la translation qui amène ïf en D'; la translation TT' amène D en D'.

15. Théorème. — Par t^out point O de l'espace on peut mener une parallèle à une droite donnée D, et Von ne peut en mener qi£unç.

En effet, soit A un point de D. La translation de glissière AO, qiii amène A en O, amène D en la parallèle-D' passant par O.

Cette parallèle est d'ailleurs la seule, car toute parallèle à D passant par O est aussi parallèle à D' et, par suite, coïncide avec D' puisiurelle la rencontre en O.

16. Théorème. — Dans une translation rectiliene toutes tes glissières sont parallèles entre elles.

Soient D et D| deux glissières d^uné translation T, A et A' deux points de t) homologues dans cette translation, et B un point de D|. Désignions par T' ïà transfàtion de glissière A'S, qui amène A' eh B et amène D en une position D', parallèle a t) passant par B.

La translation TT' amène A çh B, car T amène A en A' et T' transporte A' en B; TT' transporte donc aussi D en D'.

Nous allons prouver que D' coïncide avec D|.

Exécutons, en effet, les translations précédentes en ordre inverse. La translation T'amène A en un point C de D'; puis la translation T amène C en B, car comme, diaprés le postulat,

Tr==T'T,

la translation T'T doit amener A au même point B que TF. Or, C et B sont tous deux sur D' et, comme ce sont deux points homologues dans la translation T, on en conclut que CB, c'est-à-dire t)\ est une glissière de T. D' coïncide donc avec D| puisque (n" lÔ) par un point B il ne passe (Qu'une glissière.

17. Réciproque. — Lorsque plusieurs droites sont parallèles, dans toute translation pour laquelle • l^une d^ elles est glissière, les autres le sont aussi.

Soient D et D' deux droites parallèles et T une translation de glissière D. La glissière D| de T qui passe par un point O de D' est parallèle à D, donc elle coïncide avec D'.

18. Segments égaux et parallèles. — Considérons deux droites parallèles indéfinies D el D' et, sur ces deux droites, deux segments égaux AB et A'B'.

Par une translation amenons A en A' : les deux

droites D et D' coïncideront. Si B vient se placer sur D' du même côté de A' que B', les deux segments égaux AB et A'B' coïncident : nous dirons alors qu'ils sont de même sens. Sinon, nous dirons que les deux segments sont de sens contraires. En d'autres termes :

Deux segments égaux sont parallèles et de même sens si l'on peut les faire coïncider par la translation qui amène leurs origines en coïncidence.

Deux segments égaux sont parallèles et de sens contraires si la translation qui fait coïncider leurs origines les place en prolongement Vun de Vautre,

19- TotcttSME. — Dans une translation rectiligne tous les points mobiles décrispent des segments égaux y parallèles et de même sens.

Soient a et m deux points mobiles dans une translation T, A et M leurs positions initiales. A' et M' leurs positions finales. Les trajectoires de ces deux poiots sont AA' et MM'.

Les droites AA' et MM' sont parallèles comme étant des glissières.

Les droites AM et A'M' sont également parallèles * comme homologues dans la translation T.

Si donc on prend AM pour glissière, A'M' le sera aussi, et la translation T', qui transporte A en M, transportera A' en Un certain point de A'M'. D'autre part, celle translation amène la droite indéfinie AA'en coïncidence avec la droite indéfinie parallèle MM'; par suite, elle amène aussi A' sur MM'. La translation T', amenant à la fois A' sur A'M' et sur MM', transporte A' en M'; elle fait donc coïncider les deux segments AA' et MM' qui, par suite, sont égaux, parallèles et de même sens.

20. Remarque.. — Si Ton nomme parallélogramme un quadrilatère dans lequel les côtés opposés sont deux à deux parallèles, la démonstration précédente prouve que :

Dans un parallélogramme les côtés opposés sont égaux.

Cav elle prouve que, dans le quadrilatère AA'M'M qui, par hypothèse, est un parallélogramme, on a