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Or ceci est impaëiîUe, car, jHiigyie
AAji =s n. AAf, on à aussi
24. TflÉORàMK. — Deux droites D et D' situées dans un même plan et ne se rencontrant pus sont parallèles.
Menons ei> effet par un point O delV tme pa^ltèle A à D. Elle c<*ncfrfera Bfvec ly, c«r, sHl n^en éêart pas ainsi, ly, rencontrant A, rencontrerait D pataRète à At.
IIL — PLANS PARALLÈLES.
25. Définition. — Deux plans sont dits {^rallèles lorsque r un se déduit de l'autre par une transiation rectiligne.
26. Théorème. — Deux plans parallèles P et F gui ont un point commun A coïncident,
Seient en effet T la translation par laquelle P' se de* doit de P et Â' l'homologue de A dans cette translation :
Ann, de Mathémat,, 4* série, t. VL (Novembre 1906.) 32
I *^ Sî Â' coïncide avec Â, la translation T est égale à 1 et les deux plans coïncident.
2** Si A' et A sont distincts, la droite AA' est une glissière située tout entière dans le plan P qui contient à la fois A et A'. Le plan P' est donc un plan de glissement et coïncide avec son homologue P.
27. Théorème. — Deux plans parallèles distincts n'ont aucun point commun.
Car, s'ils en avaient un, ils coïncideraient.
28. Théorème. — Deux plans P et V parallèles à un troisième P" sont parallèles entre eux.
Car, si T est la translation qui transporte P en I*' et T' celle qui transporte P*' en P', la translation TT' transporte P en P.
29. Théorème. — Par tout point O de Vespace on peut mener un plan parallèle à un plan donné P et un seul.
On obtient évidemment un tel plan P par une translation qui amène un point de P en O. C'est d'ailleurs le seul, car tout autre plan parallèle à P et passant par O est aussi parallèle à P et par suite coïncide avec lui puisqu'il le rencontre en O.
30. Théorème. — Les droites d'intersection D et D' de deux plans parallèles P et P', par un troisième n qui les rencontre, sont parallèles.
Soient O un point de D et O' un point de D'. Si l'on fait effectuer à P la translation de glissière OO' qui amène O en O', le plan II, contenant 00', sera un plan
(499) de glissement, la droile D restera donc dans U et, comme P viendra coïncider avec F, la droile D viendra bien par cette translation coïncider avec i^intersection D' de n et P.
31. Théorème. — Étant donnés quatre plans parallèles P|, Pa, Ps, P\ rcii'iinirrs par (l(*ux s/i-antrs A et A' respectivement aux points A.|, Aj, As, A4 et B|, Bs, Biy B4, si l'on a
A.iAt=sAtA4,
on a aussi
Supposons les segments A1A9 et As A4 de même sens. Effectuons sur l'ensemble des deux plans P4 etP^, considérés comme formant une figure invariable, la translation de glissière A qui amène A| en As : le point Aj viendra en A4, et P| et Pj viendront respectivement coïncider avec Ps et P4. Les points B| et fi^ viendront se placer en B', et B', sur les plans Ps et P4, de telle sorte que le segment B'^ B', soit parallèle à A' et égalàB«Bs.
Les droites B'^Bs et B!,B4 seront parallèles comme intersections des plans Ps et P4 par le plan des deux parallèles B; B; et A'.
La figure B'^ B!|B4Bs est donc un parallélogramme et Ton a
BtB,= BlB;=:B,B4.
Corollaire. — Si l'on a
A3 A4 :8 n. A| Afy
• n étant un nombre entier quelconque, on a aussi BtB4= /i.BfBs.
( gM )
33. TnÉORBikfE. — Lorsque deux plans V etV sont parallèles, toute droite A qui rencontre l'un reri-^ contre Vautre.
La démonstration est identique à celle du n® 23.
On pourrait d'ailleurs, par un renversement de Tordre des propositions, placer celle-ci la première et alors en déduire le théorème du n^ 23.
33. THÉORisME. — Lorsque deux plans P etP' sont parallèles, tout plan tk qui rencontre l'un rencontre l'autre.
Supposons que II coupe le plan P suivant une droite D. Si par vkitï poînC O de D e^^n mène, darfs" le phin D, une êvôitt A 6ki\rfàte de D, e'ètre droite renconti^ant )é plan P ett O rencôuti'ei'à le plan pa^tfllêle P th tfû point & ÈtppstHehmi à là foi» à F et à D.
34. Théorème. — Deux plans P et P' qui tCdnt aucun point commun sont parallèles.
Menons en effet par un point O de P' un plàû flP paVaflèle à P. Ce plan II coïncide avec P', car, s'il n^en étrft pas ainsi, P', rencontrant D, rencontrerait le plan P'pa* ràHèle à n.
