IV. — DROITES ET PLANS PARALLÈLES
35. Définition. — Utie droite D et un plan P sont dits parallèles sUl exista une translation qui amène D à être contenue dans le plan P ou, ce qui revient au même, s'il existe une translation qui amène P à contenir B.
(5oi ) S6. Tj#W6Mf;* rrr Si èuiffi iroiu J^fianallèle à un fiif^n P^ uj% poiat: A camw^un. avec ce p^^^ajL, ^tU eu
Soit T la translation qui amène P à occuper une posi- Upn. P p^s^q* p^ P 9i ?Qit A' r^ç^^ojogrtç dje- A d^ns cette translation. Il suffit de fffoy^s^v q^ç ^ qqï^cjd^ç avec P.
i*^ $i ^ 4!^9ifk^^ fkv«ç 4) p'eat éyi^Ç^t^ puji^ue
a** $ti k^' XK^ <:fiimç^ৠf^ a^Yftç A, Ift dw,te AA' e^t jtoijtlt wtî^ dA«§ le^ plft^ JP', v««jr A ^8it ^iiVfé ^ w iP OPJi»' tenue dans P' et A' es^ fl'Jkomipjyoïgue «(IW f oÀnt de P. A A' étant une glissière, le plan F est un plan de glissement et coïncide avec son homologue P.
37. Th^orcmb. — Une droite D parallèle à un plan P et non située dans ce plan n'a aucun point commun avec ce pian.
Car, si elle en avait un, elle serait tout entière dans le plan..
38. Tj^éorèhe. — Lçrsque deux droites D et D' sont parallèles, tout plan P parallèle à l'une D est parallèle à /'autre D'.
Car, si T est la translation qui amène 'D' à coïncider avec D et T' celle qui amène D à, être contenue dans P, 1^ translation TT' agiène la droite f)' à être située dans le plan P.
Cas particulier. — Lorsque de\ix droites sont parallèles^ tout plan passant par l'une est parallèle à l'autre, ou, ce qui revient au même : Lorsqu'une droite est parallèle à une droite d'un plan, elle est fiçraUèle ç, c^^^a.
39. Corollaire. — Si par un point O d'un planV on mène une droite D' parallèle à une autre droite D parallèle au plan P, la droite D' est tout entière située dans le plan P.
Car D' est également parallèle au plan P et a un point O commun avec lui.
40. Théorème. — Lorsque deux plans 1? et P' se coupent, toute droite D parallèle à la fois aux deux pians est parallèle à leur intersection; et réciproquement, toute droite D parallèle à l'intersection est à la fois parallèle aux deux plans.
Si D est parallèle à P et à P' et que par un point 0 de leur intersection on mène une parallèle A à D, cette droite A est située à la fois dans les deux plans (n° 39); donc elle coïncide avec leur intersection.
La réciproque résulte immédiatement du cas particulier du n** 38.
41. Théorème. — Si une droite D est parallèle à un plan P, tout plan II, passant par D, qui coupe P, le coupe suis^ant une droite D' parallèle à D.
Car D est à la fois parallèle à P et à D ; donc elle est parallèle à leur intersection D'.
42. Théorème. — Lorsque deux plans P et P' sont parallèles, toute droite D parallèle à P est parallèle à F.
Car, si T est la translation qui amène P' à coïncider avec P et T' celle qui amène P à passer par D, la translation TT' amène P' à passer par D.
Cas particulier. — Lorsque deux plans sont /?a-
( 5o3 ) rallèlesj toute droite contenue dans Vun est parallèle à l'autre.
43. Théorème. — Par tout point O de V espace on peut mener une infinité de droites parallèles à un plan donné P. Le lieu géométrique de ces droites est le plan V' parallèle à P passant par O.
Car toute droite passant par O et située dans V est, diaprés ce qui précède, parallèle à P; et, réciproquementy toute droite parallèle à P passant par O est également parallèle à P' et, par suite, est située dans P puisqu'elle y a un point O.
44. Théorème. — Toute droite D qui ne rencontre pas un plan P est parallèle à ce plan.
Soit en effet V un plan parallèle à P et passant par un point O de D. La droite D est située dans le plan P, car, s'il n'en était pas ainsi, la droite D, rencontrant F en O, rencontrerait le plan parallèle P.
[DSbce]
SUR LA SÉRIE DE TAYLOR ET SES POINTS SIN61ILIERS; Par m. Eugènb FABRY.
On sait qu'une série de Taylor représente une fonction analytique qui a, au moins, un point singulier sur la circonférence de convergence. Ce théorème, qui résulte des propriétés des fonctions analytiques, peut se déduire directement de l'ordre de grandeur des coefficients par rapport au rayon de convergence, et
ckfi.i»bcions èita^eimones flor l'entre de gfmvdanritii module maximum.
Soit la série
(i) f{z) = a^-h ai^ -+- aaJ8«-c*-. . .-+■ ai,«»H-. . .
dentée rayon de Qon vergence est supposé rfltmetté à i. La plus grande limite de v^fo^f est alors égalée à i; cW-^dûe (^à^^ «iqel ^c[ua soit % .on 4t
à parrir d'an rang déterminé et
pour une infinité de valeurs de n.
Soit
oè
A: prenant les [x valeurs entières de o à [x — i . Formons la Bonraie
OÙ |ji> m. Le coefficient de an/*" est une progression
géométrique dont la somme est nulle lorsque —^ —
n'est pas entier ; elle est égale à jjl lorsque /i — m est un multiple de [x. 0>n a donc
( 5o5 ) r^taolf âve, soit M it maximum <hi mc^le àef^re*'*) h>rsque'<>> varie éeo à »ic. &af a
fi'.-^px™'^)
|x peut être choisi assez grand, pour que le dernier Vtmme $oix .Qiis«i f^iii que Vwk voudi;»^ j^uisiqja^: U
série 2^anr^ est ab«ahiment.convergerrle. Donc
Sur une circonférence de rayon r, itffériTeur i i » îl y aiwiL point liatjq^ie I/(vâ*^')] «^i^ *m moie^ àg^l ciuaiQdule d'un terme quelconque a„r'^.
Dafts le cas eà la série ^|â(iz|' est oonvergenle, '«»
peut, àans eet éftOficé, «iipposerr^s i.
Si les coefficients a„ ne res^tent pas finis, la plus grande limite de \an\ étanrt iafixiie, soit A un nombre quelconque, aussi grand que Ton voudra. Il existe des termes tels que |a;i| >* 2 A. /i étant ainsi fixé, prenons r
compris entre — et i , aloi^
et, sur la circonférence de rayon r, il y a un point tel que
l/(re«Olè|a«r«|>A.
11 y a donc, dans la cîrcojaféteoee de convergence, des valeurs de z telles que (/*(^)| dépasse tout nombre donné. Et il y a au moins un point singulier sur la circonférence.
6i hs coefficients ûp/i restent finis, maïs tte tendent
( 5o6 ) pas tous vers zéro, nan ne reste pas fini. Il en résulte que la dérivée f'{z) ne reste pas finie sur la circonférence de convergence.
Enfin, si nPan ne reste pas fini, p étant un entier positif,
(a) fp{z) = ^l'*!" - 0 . . . ('i — /> ■+- i)anZ''"P
ne reste pas fini sur la circonférence de rayon i ; cette fonction a, au moins, un point singulier sur la circonférence, et aussi /(z).
lI-L
Si l ^ nWgmcnte pas indéfiniment avec toute suite de valeurs de n, c'est-à-dire sMI existe une suite
infinie de valeurs de n telles que -i^ reste fini, il existera un nombre p tel que, pour ces valeurs de n,
an
<nP
et/p^i(^) ne restera pas fini sur la. circonférence de rayon i.
lIJ-I
Supposons donc que -4—^ augmente indéfiniment
avec n, pour toute suite infinie de valeurs de /i. Quel que soit />, |a«|/i/'"'"2 tend vers zéro, et la série (2) est absolument convergente sur la circonférence de rayon i. Il en résulte que le maximum du module de /p{e*^^) est au moins égal à
quel que soit n.
Si la fonction /{z) n'avait aucun point singulier sur
(5o7) la CTTconfëreDce de rayon i , le développement
où |z|=:i, aurait un rayon de convergence supérieur à zéro, eliV "^^ . ^ aurait une plus grande limite finie.
Il existerait alors un nombre fini A tel que, quel que soit/^, on ait
\/p(z)\<APxp\,
tant que \z\ = i; le module maximum de/^(e<^') serait alors inférieur à Ap x pi et Ton aurait
|a;»|n(/i — ï)...(/i— /)-»-i)< M < Apx/>!
en donnant à p les valeurs i , a, • • • , n.
\an\ 1 A i.a A*
expression qui tend vers i -|- j lorsque /i devient infini.
La plus grande limite de s/\^n\ serait au plus égale
à j et le rayon de convergence de la série i serait
S'il n'y avait aucun point singulier sur la circonférence de rayon i, le rayon de convergence serait supérieur à I. Donc, dans tous les cas, il y a au moins un point singulier sur la circonférence de convergence.
8IIK LE CERCLE PEBAL;
Gergonne, le théorème suivant :
Pour une hyperbole équilatère, le cercle pédal d* un point Dclela courbe, relcUivement é un.trimngle inscrit ABC, passe au centre de ta courbe.
Ce théorème est obtenu en transformant par polaires réciproques^ gelatlvement 4 un cercle 4:^ cemtre D, le fait que tout triangle circonscrit à une parabole a son cercle circonsciÂlt pa^s^^t «ai» f^yv 4ie U .cowib^.; le point D est pris sur la directrice. Qn déduit de là ta proprié^ suivMitt^, sitv laquelle jVi fondé une 44moB6tralion du ihéorème deFeuerbach {Nouvelles Annales, 1905, p. 260 el 5o4) :
Étant donné un quadrangle ABCD, tes cercles des neuf points des quatre triangles auxq^uels il donne lieu ont un point commun K ; en outre, te cercle pé-dalde l'un queloon^MiS des quatre points relcuii'emte^t au triçcng^e fo^m^ par les ^tnqis. OM^es pass0 au point K.
Voici une démonstration élémentaire de cette der- WèKe propriété :
Soit nn tçiiw^gle ARC, dont les çô^é^ opl \j^\fK^ w- Ujeiu en M, ÎJ, P. Liepqint S étant .quelcQpqycj, f^k\^ miUeiux djçs segm^U SA, SJ?., S.C étant. W!, N', F,. Ijç? cercles des neuf points des deuK triangles SAB et SAC
ont cv[ cuiiirnuii re point Sr et nrr autre point <jne nous appellerons K ; on a alors
et, par soustraction,
}e point *K appartient donc au cercle dés tienf points du triangle ABC, et une démonstration aâalôgu'e s'ap^pfîq'ûe au tfiangfe SBC. Ce premier poînt ^taril acquis, soït DÈF le triangle pécïaf du point S; le tercle ïHEf passera au point K. si les angles VKË et FDË ^ôùt siTpplémènCairés. 0*r, le pofnt R étant sur Te cefdie des neuf points du triangle SAB, dont S'P est une hauteur, on a
"PK^ === SBA - ^A^ ^ #D^-- ^Îb"; o» a 4e Baféme
lîïŒ = se A — SAC =» ^DE'— ^AO-
radtKrio'ù donne
fïC^HL'^*^-^ A;
on a donc, en tenant compte de (i),
fKE^=(2^-A)-(n^-A)=2'*-i^.
fj'ài employé lés notation!^ de h pa^e 55 âtt Volume AqH lVùît\>éliés AntiaUs pont 1906.)
( 5io ) [K2o]
SHH LE THÉOMMB M FIUERBAGH; Par m. R. BOUVAIST.
L'objet de cette courte Note est de donner, en même temps qu'une démonstration nouvelle du théorème de Feuerbach, la solution de la question proposée S036 (1906, p. 96).
Le cercle des neuf points (o d'un triangle ABC est le lieu des foyers des paraboles conjuguées au triangle. Ces paraboles sont harmoniquement circonscrites aux coniques inscrites dans le triangle ABC» et sont îns« cri tes dans le triangle A'B'C ayant pour sommets les milieux des côtés de ABC; leurs directrices passent par le centre O du cercle circonscrit à ABC, qui est l'orthocentre du triangle A'B'C.
Soient F et P les points, autres que les points cycliques, communs au cercle o) et au Cercle I inscrit dans le triangle ABC; il existe une infinité de triangles inscrits dans le cercle I et circonscrits aux paraboles de foyer F ou F' conjuguées au triangle ABC. Or, ces paraboles sont déjà, par construction, harmoniquement circonscrites au cercle I; l'existence des triangles précédents entraîne alors, d'après une propriété bien connue, que le cercle I soit harmoniquement circonscrit aux paraboles considérées, qui dès lors ont pour directrice commune la droite 01; étant inscrites dans le triangle A'B'C et ayant même directrice, elles coïncident, et, par suite, le point F est confondu avec le point F\ Le cercle I est, par suite, tangent au cercle u> en F, foyer de la parabole de directrice OI inscrite
( 5.1 ) dans le triangle A'B'C; ce point F n'est d'ailleurs que le point de concours des symétriques de la droite 01 par rapport aux côtés du triangle A'B'C; la proposition qui fait l'objet de la question !2036 se trouve ainsi démontrée.
BIBLIOGRAPHIE
Les nombres positifs, exposé des théories modernes DE l'Arithmétique élémentaire, par M. Stuyvaert. 1 vol. in-8° de xii-i3a pages. Gaud, E. Van Goethem. Prix : 3''.
L'enseignemeot des mathématiques élémentaires subit en ce moment une crise profonde. Les progrés de la philosophie des mathématiques ont bouleversé les idées traditionnelles sur les fondements de la Science, et l'influence des doctrines nouvelles se fait de plus en plus sentir sur les méthodes d'exposition. C'est ainsi que la notion d'ensemble, à peu près ignorée il y a une trentaine d'années, tend à devenir, didactiquement comme philosophiquement, le fondement même des mathématiques. Il y a de même une tendance à prendre, comme base de la Géométrie, la notion des groupes de mouvements.
Au nombre des livres où se manifeste la préoccupation de mettre les méthodes d'enseignement en harmonie avec les idées modernes sur les principes des mathématiques, il faut signaler tout particulièrement le petit Traité d'Arithmétiquje élémentaire que vient de publier M. Stuyvaert.
L'auteur nous avertit dans sa préface que l'Ouvrage, destiné aux professeurs ou tout au moins aux meilleurs élèves, est une sorte de manuel ou de précis. On serait donc malvenu à lui reprocher une concision parfois un peu excessive, et le manque presque complet d'applications numériques.
Le Chapitre I traite des nombres entiers. Après les premières définitions, l'auteur passe en revue les opérations fondamentales, et établit in abstracto leurs propriétés essen-
tielles (a-it-*=»^4-«r; a — {b-^€)^a — è-k-c'yab^ba; etc.). Ces propriétés soat ensuite utilisées pour 1» théorie de la numération décimale et des opérations exécutées dan^ ce système. Une telle méthodes d'exposition ne peut éviidieinmeTrt cotiVenfi», Tiaruteur 1^ déclare d'ailVeurs tout le premier, qtfk des élèves exercés à la pratique du calcul numériqve, et qui veulent acquérir des raisons précises de ce qu'ils connaissent dé>}à psr routine.
Viennent ensuite des paragraphes sur les différents systèmes de numération, les caractères de divisibilité et les propositions les plus simples de la théorie des nombres (les théorèmes de Fermât et de Wifson sont démontrés).
M. Stuyvaert n'a pas parlé des nombres négatifs, pour se conformer à Pusage qui veut que fa théorie en soit reléguée ânvis PAlgélïre. Il sembfe le fcg rctecr tt je le regrette avec hri. L'emploi des nombres négatifs rend rexposicif» dé plusieurs matières à la fois plus simple et plus large. Ott ne volt pas pourquoi, dans un enseignement où l'on introduit les nombm fractioniinires-et les nombres ineo umm t im urabto pour reMife possibles dans tous les oas la- division et Te^tFaetion ries rHeines, on laisse deeôeé l«s nombre» qui cfoniieoi un idte à toutes les sou^raetions^
Le Chapitre U est consacré wixfnMiioDs.'OB sait qu'o»piMit les èéAmhr en se plaçtfnA, soit au point de vue de la théorie des grandeurs, toit am point de vue 4e l'Àfithnaétique p«re, qui
ne connaît que le nombre entier. L'expression <-f par exemple,
a, dans le premier cas, unrtens eOcoret,, et, dans k seeondcttS, est un symbote auifue>on ne. peut donner un sens que par une coniFetttion. C'est le 0ec«>ttd potilt de vue qu'adopte M. Stuyvaert, aonformémenl d'ailleurs à la tandence atti^urd'hui la pias générale.
Les nombres incoaoïensirrables sont étudiés an Chapitre ill. lU sont définis par lee covpapes faites dans l'ensemble des nombres ratiofk»ets, maie cette aotiaa n'est pas iairoduice sans méaafement. C'eët se«ilem«ttt après avoir daaaidéré les cas particuliers de la racine eavrée et de la racine cubixftfe qm'ao aborde la théorie générale desincomaneimurables. Cette théorie R>e pa#aH fort bien exposée, et je ne hasarderai qu^âne 1res légtère critique, ne portent d'ailleurs an fond que saraneq«(ealionde tangage. L'anteur dit(conrmeà peu.prés tout lemonde) :
«... la coupure définit un nombre incommensurable ». Cette phrase est-elle bien claire? Un débutant cômprend-il bien ce que c'est que définir une chose qui n'existe pas ? Je crois qu'il y aurait avantage à dire :
« Faisons dans l'ensemble des nombres rationnels une coupure qui les répartit en deux ensembles A et B. Pour abréger, j'appellerai nombre irrationnel le système de ces deux ensembles. Ainsi, « le nombre v/2 n'est qu'une expression abrégée pour désigner le système de deux ensembles, dont l'un contient tous les nombres rationnels dont le carré est plus petit que a, et dont le second contient tous les nombres rationnels dont le carré est plus grand que 1 ».
En s'exprimant ainsi, on fait perdre au nombre incommensurable son caractère de symbole ou d'imaginaire : « nombre incommensurable » est tout simplement un nom que l'on donne à un ensemble d'éléments réels et bien connus. Encore une fois, il y a là surtout une question de langage. Mais personne ne conteste que, dans l'enseignement, les questions de langage aient une importance considérable.
Remarquons à ce propos qu'il suffit, pour définir une incommensurable, de parler de l'ensemble des nombres rationnels qui lui sont inférieurs. On aboutit ainsi à la notion de segment, telle que l'expose M. Russell dans The Principles of Mathematics ( « ).
Je crois que la théorie des segments pourrait être substituée sans désavantage didactique à celle de la coupure.
Dans le même Chapitre figurent la théorie des proportions, celle des limites, où l'on continue à trouver les mêmes qualités de netteté et de rigueur que précédemment. Le Chapitre se termine par deux paragraphes substantiels, relatifs aux approximations numériques et aux opérations abrégées.
Le dernier Chapitre traite de la mesure des grandeurs. La notion de rapport de deux grandeurs est très heureusement rattachée à la théorie des ensembles. Viennent enfin des applications à la mesure du temps, des longueurs, des poids, aux problèmes d'alliages, d'intérêt, etc., et aux calculs sur les
(*) Voir aussi Couturat, Les principes des Mathématiques; HuNTiNGTON, The Continuum as a type of order {Annals of Math., 1906). Une traduction en langue espéranto du Mémoire de M. Hantington est actuellement sous presse.
Ann. de Mathémat., 4* série, l. VL (Novembre 1906.) 33
(5.4 ) nombres complexes, qui servent àMa mesure du temps et pour les monnaies étrangères. Les méthodes adoptées dans cette dernière Partie sont autant que possible algébriques. Il Cï^t inutile d'insister sur la concision ainsi obtenue.
L'Ouvrage de M. Stuyvaert ne doit pas être mis entre les mains de ceux qui n'ont pas une maturité d'esprit suffisante: mais son ordre excellent, le soin de sa rédaction, sa rigueur le recommandent aux élèves soucieux d'acquérir des habitudes de précision intellectuelle. R. B.
GEKTIFiGATS K MATHÉMATIQUES GÉKBRALES.
Caen.
Épreuve écrite. ■;— I. Construire la courbe lieu des points dont les coordonnées rectangulaires ont pour expressions
IL Étant donnée la parabole P, y^ = ipx, former Véquation de la parabole Q obtenue en transportant P parallèlement à elle-même de manière que son sommet vienne en un point M(a, ^). Supposons que le point M décrive la parabole
y'^^ipx = o,
les paraboles Q formeront une famille de courbes : trouver leurs trajectoires orthogonales,
m. Un point M, de masse /n, assujetti à se mouvoir sur une circonférence de rayon a, est attiré vers un point 0 de la courbe par une force mw^r, r désignant la distance OM. A r Instant initial, cette distance est a ^ et la vitesse, égale à a tu /2, a un sens tel que le mobile se rapproche du point 0. On demande le mouvement du point M et la pression qu'il exerce sur la circonférence.
Résultats de la forme
-7- = (i)sin9, N = !2/na)*a(3 sin*8 — !).
Calcul. — Étant donnée une sphère de \^ de rayon, calculer y avec cinq chiffres exacts^ la hauteur d'un segment à une base dont le volume est le quart de celui de la sphère, (Juillet 1906.)
foenoble.
Épreuve écrite. — i" Intégrer V équation différentielle
a* Montrer que la courbe intégrale qui passe par le point a? = o,^ = i peut être représentée par les équations
a? = Ltang-, y rs %\tit.
Construire cette courbe.
3* Calculer l'aire comprise entre cette courbe, l'axe ' des X, l'axe des y et la droite x = a. Limite de cette aire lorsque a croit indéfiniment,
4° Expression du rayon de courbure en un point de la courbe, en fonction du paramètre t correspondant à ce point.
5" En conclure les valeurs numériques des coordonnées des points d'inflexion de la courbe.
6* Volume du solide limité par la surface qu'engendre la courbe, en tournant autour de Ox.
Épreuve pratique. — i« Évaluer l'intégrale
dx
2* Montrer que l'équation
e-' — a? = o n'a qu'une racine. Calculer cette racine à près.
3* Étant donnée la surface représentée par l'équation ^ = 37*-+-^», on considère le solide compris entre la surface, le plan des xy^ le cylindre y =^x^ et le plan ^ = i . Volume de ce solide. (Juillet 1906.)
Lille.
