I. — ALGÈBRE, GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE, CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

Éprbuvb écrits. — I* Étant donnée, dans un plan rapporté à deux axes rectangulaires Ox^ Oy, la courbe (T) dont l'équation est

dans laquelle a désigne une longueur donnée, construire cette courbe et déterminer les coordonnées des points Mi et M^^ pieds des normales qui peuvent lui être menées de l'origine.

2" Calculer l 'aire limitée par le segment 0M|, la courbe et l'axe Ox.

3" y =s mX'hp

étant l'équation d'une droite quelconque du plan, trouver la relation qui doit exister entre m et p pour que cette droite soit tangente à la courbe (F); en déduire le lieu des points du plan d'où l'on peut mener à cette courbe deux tangentes rectangulaires et construire ce lieu,

4" X et y désignant les coordonnées d'un point de la courbe donnée, montrer que la sous-normale correspon-

dante est égale à K ^^ , K désignant un nombre constant;

plus généralement, trouver toutes les courbes telles que

ytl-k-X

la sous-normale soit égale à K » n étant un nombre

donné, montrer que pour certaines valeurs de n les courbes trouvées sont des ellipses ou des hyperboles dont les axes sont Ox et Oy,

5» Calculer le volume commun au cylindre engendré par la rotation de la droite Mi Mj autour de Ox et à un prisme dont les arêtes sont perpendiculaires au plan xOy et dont la base est le triangle OM|Mi.