II. - MÉCANIQUE

Éprkuvb bcritb. — i* Travail des forces appliquées à un solide indéformable.

2** Un cube homogène A B G D Di Ai Bi Gi, pesant 2^«, reçoit un mouvement hélicoïdal uniform,e autour de l'axe Oz d'un trièdre trirectangle fixe Oxyz^ son arête A Ai glissant sur la verticale ascendante Oz, Aux sommets B e^ D de la base inférieure, voisins de A, sont appliquées deux forces constantes de 4^*, constamment parallèles l'une à Ox l'autre à Oy. Au sommet G de la même face est attache un fil élastique tendu relié à O, exerçant en G une trac^ tion proportionnelle à son allongement et évaluée à 20^ par centimètre d'allongement. Enfin le cube est soumis à un couple résistant d'axe 0-k, valant o^^^x. Calculer en kilogrammètres le travail des forces énumérées pour un déplacement d'un pas.

' L'arête du cube est de o**, 10. Initialement OA = 0™, 10: AB est parallèle à Ox; la tension du fil est nulle, La vitesse de rotation par seconde est 21c dans le sens direct autour de Om, et celle de translation de o"*, 10 dans le sens Oz. (Juillet 1906.)

Montpellier.

Épreuve écrite. — I. On considère une surface sphérique homogène qui attire un point M de masse 1 proportionnellement à l'inverse du carré de la distance. En raison de l'homogénéité de la surface, la fonction des forces

\(x,yz)

au point M ne dépend que de la distance p du point M au centre de la sphère, que l'on prendra pour origine des coordonnées.

On aura donc

I" Partant de l'égalité (i), on exprimera les dérivées

. ,, d\ d\ dV d«V d»V d^y j. . j partielles -— > — - > -r— j —— - > -— r- » -r-r- €/i fonction de x. y, '^ dx dy dz dx^ dy* dz* '^ ^ ''

11* Montrer que V équation de Laplace

d«V d«V d«V djT» "*■ c>^« "^ d-5* "■ ®'

à laquelle on sait que M satisfait y se réduit ici à une équarlion différentielle linéaire entre F c/ p. Donner V intégrale générale de cette équation,

3* Montrer que, si Von connaît la valeur de V, d'une part au centre de la sphère, d'autre part à V infini, on pourra déterminer les constantes arbitraires qui figurent dan^ V intégrale générale, et obtenir la valeur de M pour un point quelconque situé, soit à l'intérieur, soit à l'exté^ rieur de la sphère.

4** Achever le calcul en déterminant la valeur de V au centre de la sphère et à l'infini, à l'aide d'une intégrale double étendue à la surface de la sphère (suivant la définition de la fonction des forces).