P = ^PH
de sorte que la moyenne u des valeurs de v correspond à la moyenne des valeurs de PH quand le point H parcourt la demi-circonférence A HB. Cette valeurmoyenne est l'ordonnée du centre G des uioyennes distances de l'arc AHB à son diamètre ÂB, ou, en d'autres ternies, l'ordonnée du centre de gravité de cet arc. On a, par une formule connue,
-p AB 5t/ sina
et, par suite,
ir -ïT
^2/ sina
La durée t de l'oscillation simple s'obtient en divisant la longueur ÂCB du chemin parcouru par la vitesse moyenne u du mobile ; on a donc
•2/ sina \ g \ g
en observant que le rapport -: — a pour limite Tuniié, lorsque Tangle a est infiniment petit.
III. Cette formule (4) s'obtient, comme on le voit, sans intégration, pourvu que Ton connaisse la position du centre de gravité d'un arc de cercle homogène; or cette détermination s'obtient également sans intégration en s'aidant de l'équation d'un mouvement circulaire uniforme projeté sur un diamètre fixe.
En eifet, soit ACB un arc de cercle, décrit du point O comme centre avec OA = OB = R pour rayon {Jig- ? )•
Menons la bissectrice OCY de cet arc, et traçons r.arc OX perpendiculaire à OY.
Imaginons un point M qui parcoure l'arc ACB d'un mouvement uniforme, avec une vitesse angulaire constante, (0, autour du centre O. Projetons le mouvement sur l'axe OX, et soit Om=zx l'abscisse du point m, projection de M, à Tépoque t ; nous aurons, pour l'équation du mouvement projeté,
a? = R sinwf,
en comptant le temps t à partir du passage du point m en O, ou du point M eu C. La vitesse v de ce mouve-
ment sera donnée par Téquatlon
dx
V = -7- = Rw cosa)< = w R costot = w)-,
en appelant^ rordonnée m M du point M.
La vitesse moyenne ii du point m dans le parcours du segment ab, projection de l'arc tntal, sera le produit cDj/'i de la vitesse angulaire w par rordonnëe^i, moyenne de toutes les ordonnées y des points de l'arc circulaire, c'est-à-dire par Tordoiinée OG du cenlre de gravité de cet arc. Nous poserons donc •
ab AB
t étant la durée du parcours ab = AB du point projeté
de a en i, ou de A en B le long de la corde. Cette durée
est égale à celle du parcours de l'arc ACB par le point M,
et Ton a aussi
arc ACB
Par conséquent, on a h la fois les deux relations
AB arc ACB a)^i = — et oit=z :^
Entre ces deux équations éliminons le produit (Dt; il viendra, en résolvant par rapport àji,
R X corde AB •^*~ arc ACB '
formule connue de la distance au point O du centre de gravité de Tare ACB.
En appelant 9 le demi-angle au centre, on transforme la formule en la suivante :
R sinO
et, appliquée à la demi-ciiconférence AHB, elle donne \c — — — ^^^'"°^
équation dont nous avons fait usage (*).
IV. Supposons en second lieu que Tangle a ne soit pas infiniment petit, mais qu'il soit assez petit pour qu'on puisse poser
cosa =1 9
sm a = a —f
à titre d'approximation. Les limites de PR sont alors différentes, mais d'une petite quantité, et l'on pourra substituer à PR variable une valeur constante, que nous prendrons égale à
cela revient à poser
en affectant du coefficient 2 la plus grande limite, maximum de la variable. Il vient alors, en refaisant les calculs,
l „ 4 /i ^-^sin» ' 4 /i ' 'y ~"Ô"/
(*) Cette démonstration a été donnée dans notre Mécanique,. t. II, § 182 (IV« édit., Hachette).
( 55) et, comme 2 la. est la longueur de Tare parcouru ACB, on a
c'est*à-dire la formule trouvée pour a infiniment peut, étendue aux petits arcs a.
