SUR LE CERCLE PEDAL

Par m. g. FONTENÉ.

1 . Soit un triangle ABC. Le cercle pédal d'un point S (cercle circonscrit au triangle pédal de ce point) passe au centre K de Thyperbole équilatère ABCS {Nouv, Ann., 1905, p. 4^4)- Deux points inverses S et S'ont même cercle pédal; celui-ci est rencontré par le cercle des neuf points du triangle ABC en deux points K et K', qui sont les centres des deux hyperboles équilatères ABCS, ABCS'; on peut remarquer que ces deux courbes sont les transformées par inversion des deux droites OS', OS, en appelant O le centre du cercle ABC.

Soit DEF le triangle pédal relatif au point S; soient M, N, P les milieux des côtés du triangle ABC; si a^ bj c sont respectivement les intersections des droites NP et EF, PM et FD, MN et DE, les trois droites Da, Ei, Fc concourent au point K'. Ce point K' doit être considéré ici comme étant le centre de Thyperbole équilatère qui est la transformée par inversion de la droite OS.

Ce lliëorème, dont on trouvera plus loin une démonslration analytique, donne la solution de la question 2021 : le quadrangle DEFK' étant inscrit au cercle pédal, son triangle diagonal abc est conjugué par rapport h ce cercle. La démonstration géométrique semble devoir être assez difficile : je n'ai rien trouvé.

Lorsque la droite SS' passe au centre O du cercle circonscrit au triangle ABC, les deux points K et K' sont confondus, et le cercle pédal est tangent au cercle des neuf points (IVou^. Ann.y igoS, p. 5o4)i on a alors une extension de la construction donnée par Hamilton pour le point de contact K du cercle inscrit avec le cercle des neuf points.