Nous allons nous appuyer sur la remarque suivante : soit
une équation diflTérentielle du second ordre. Cette équation se ramène toujours à des quadratures si f{x^y)esl une fonction homogène et de degré — 3* En effet, l'équation précédente peut s'écrire
posons
et l'équation précédente se ramène à
3. (Considérons maintenant les équations du mouvement correspondant à la loi de force
(xra:'>
(Ba7-i-C7-4-E)»'
on aura
dx
dt ^'
dx'
HX'»
dt {Bx-^Cjr-^Ey^' dt (Bx-+-Cx-4-Ë)3-^*
( 535 ) On déduit des deux dernières équations
^î (Ba?-+-Cj^-l-E)»' où Y est la constante des aires, d^où enfin <^y ^ KT
équation diflerentielle de la trajectoire cherchée. Cette équation se ramène au type (7) du n'' S, en faisant le changement de la variable indépendante, en posant
Ba: -h E = Bar,.
En eflectuant les calculs du n^ S, on aura pour l'équation de la trajectoire
(8) (Ba7H- C>'-h E)* = aa?* H- -i^a: -h c;
elle renferme trois paramètres ne figurant pas dans Texpression de la force. Il en résulte que les trajectoires correspondant à la loi précédente sont des coniques a^ant la droite donnée
Ba:-HC7-+-E = o
pour diamètre, el Taxe des ^ pour direction conjuguée. Dans le cas particulier où U constante C = o, en reprenant Téq nation difTérenlielle de la trajectoire, on trouve pour la trajectoire des coniques, ayant la droite donnée
Ba:-4-E = o pour asj'mplote.
4. Remarquons que des deux premières lois de forces données par (6), ainsi que de leurs trajectoires correspondantes, on déduit comme conséquence leu»
( 536 ) deux lois
(9) \tL ., ^£!£ ,.
{ax*-^ibx} -h cy^y ( a a?» -h 2 6 a? -h c)^
On trouve ainsi la deuxième loi de MM. Darboux et Halphen, et une nouvelle loi qui satisfait au problème. On vérifie sans peine que les trajectoires correspondant à la dernière de ces lois sont des coniques tangentes aux deux droites données
aa7» -h^bx-i-c = o.
5. Nous allons montrer que des quatre lois données par (6) et (9) on peut déduire quatre autres lois distinctes. Nous allons rappeler quelques remarques faites dans un travail Sur une transformation réciproque en Mécanique (Bull, de la Soc. des Sciences, t. XXXIII).
Supposons un mobile sollicité par une force centrale, et soit
F = ur
la loi de la force ; le centre de la force étant à l'origine des axes de coordonnées, u est une fonction quelconque et r le ra^on vecteur. Si le temps n'entre pas explicitement dans la fonction a, et si, pour une certaine fonction de u pouvant dépendre en général de x, y et de leurs dérivées par rapport à /, on sait déterminer le mouvement correspondant à la force F, on saura aussi déterminer le mouvement si la loi de la force est de la forme
où - est l'inverse de la fonction précédente et sur laquelle on a fait le changement de x ely en 2/ ety et
( 537 ) de 2/ et y en x e\. y. En effet, les équations du mouvement correspondant à la première loi de force sont
Effectuons le changement des fonctions et de la variable en posant
dx , dy , dix
Il résulte des équations du mouvement et de ces dernières relations qu'on aura aussi
"*"" dt, ~^»* •^~ di, -y^'
d'où l'on déduit, pour les équations du mouvement du point ^Tij^i,
d^xx I d'^yx I
et la proposition est démontrée.
Cette transformation nous montre que la trajectoire du second point est la courbe bodographe du premier point, et inversement. Nous savons aussi, d'après le travail cité, que la courbe bodographe correspondant à une force centrale est la polaire réciproque de la trajectoire par rapport à un cercle ayant pour centre le centre de la force qui est pris aussi pour origine de rhodographe, son rayon étant y/y, y étant la constante des aires, et tournée d'un angle droit autour de ce centre. Il résulte alors que, si en particulier la trajectoire correspondant à une force centrale est une conique, la- courbe bodographe sera aussi une conique, et, par consé(|uent, d'après l'ensemble de ces remarques, de toute loi de force centrale, faisant dé-
( 538 ) crire à son point d'application une conique, on peut déduire une autre loi de force faisant aussi décrire à son point d^application une conique. Il résulte alors diaprés (6) et (9) les quatre lois de force :
(Bar'-hCv'-f-E)* ( a a?'« -h a 6 x' -+- c ) « ^ S '•' ^ ïâ '•'
6. Il est facile de vérifier directement que ces quatre lois de force satisfont au problème. En effet, les équations du mouvement correspondant à la première loi de force sonl :
dr' (Bx'-(-n>''-t-E)»
dl=^
dy' (Ba-'-i-Cy-4-E)»
dt ^"
d'où l'on a déduit, par division,
dy y dx' = X-
Différentions cette dernière relation en prenant x' pour variable indépendante et en regardant x et ^ fonctions de x' par l'intermédiaire de t^ on aura
d'où enfin
d.v'^ . dx
""'-dt
^ ~ |ï (Bj-'-i-Gj'-h K)»'
qui est l'équation différentielle de la courbe hodographe correspondant au mouvement cherché. Cette équation ne diffère de l'équation du n° 3 que par le changement de x et y en x^ et j^; il en résulte, par un
( 539) calcul semblable, que la courbe hodographe est une conique renfermant trois paramètres arbitraires. Il suffit ensuite, comme nous Pavons expliqué, de cher* cher la polaire réciproque de cette courbe par rapport au cercle en question et de la faire tourner d'un angle droit autour de ce centre pour avoir la trajectoire du mouvement. On suivra une méthode analogue pour la deuxième loi de force.
7. Dans le travail déjà cité, nous avons indiqué une formule analogue à celle de Binet, à savoir
î^ L^ "^pj ""?'
où F représente la force, v la vitesse et a l'angle de la vitesse avec Taxe polaire. A Taide de cette formule, on vérifie que les deux dernières lois de forces satisfont aussi au problème.
8. La méthode que nous avons employée nou& montre quHI existe des lois de force satisfaisant au problème. Le problème sera déterminé et entièrement résolu si le nombre de ces lois est limité et si de plus on a déterminé toutes ces lois. Il est facile de voir que le nombre de ces lois est limité et égal à buit^ et que de plus il n^existe pas d'autres lois de force que les huit lois que nous avons déjà trouvées.
En effet, supposons le centre de la force à l'origine des axes de coordonnées, la loi de la force sera alors de la forme
F = ur.
On sera alors ramené à chercher le nombre des lois de
( 54o ) force salisfaisant au problème, en subdivisant la recherche en plusieurs cas :
i" La fonction u ne dépend que de j: el^;
2** La fonction u dépend de ^' etj^ ;
3" La fonction u dépend de x' ony et des coordonnées X et y^ ou d'une seule de ces coordonnées, ou encore d'une seule des coordonnées x on y et de x' et y'^ ou d'une seule de ces composantes;
Enfin :
4® La fonction u dépend à la fois de x^ y^ xf et y.
Le premier cas a été déjà résolu par MM. Darboux €t Halphen. Nous allons reprendre le raisonnement, en indiquant une méthode qui s'applique dans tous les cas.
Soient :
ia loi de la force et
la conique correspondante.
Si nous multiplions la première des équations du mouvement correspondant à cette dernière loi de force par — x' et la seconde par y'^ et qu'on les ajoute, on aura
•où Y est la constante des aires.
L'équation de la conique nous donne
où A est le discriminant de la conique; on aura donc, en ayant égard à (4) du n** 1,
( 54i ) si, de plus, nous rendons Téqualion de la conique homogène, on aura, en ayanl égard à l'équalion de la conique,
y^ï = aa7*-4- ihxy -+- cy'^ ;
on aura donc finalement
(lo) 773 = 3 =-ï?(^ir)-
•^^ (a a:' -1-26 xy -f- cy^)'^
Remarquons que ces relations doivent toujours avoir lieu en tous les points de la conique /(a;, j^) = o, et cela quelles que soient les conditions initiales ; car, si Ton passe d'une conique à une autre conique de la même famille correspondant à la loi
les constantes qui figurent dans les premières fonctions de (10) varient en général avec les conditions initiales^ mais ces relations auront encore lieu le long de la seconde conique.
Je dis que Tune des deux équations (10), dont l'un des membres est — Yf (^>^)j ^^it être une identilt''. En effet, si le contraire a lieu, il sera alors possible d'établir entre x ety une seconde relation distincte de la relation y(:r, j)^) = o, ce qui est absurde. Il résulte alors qu'il ne peut y avoir que deux lois de force dépendant delà position du mobile, et ces deux lois sont les deux lois
fjtr fxr
iax -\-by ^cf^ , . , . ,A
^ -" ' {ax^-\-7,bxy -\- cy^)^
que nous avons trouvées déjà.
Il en résulte comme conséquence que, si u ne dépend que de x' et ^', il ne peut y avoir que deux lois satis-
( 34> ) faisant au problème. En effets soit
une loi de force, laquelle, d'après le n® 4, correspond, par une transformation corrélative, à la loi
qui, comme la première, satisfait aussi au problème; mais cette dernière loi ne dépend que de la position du mobile et, d'après la remarque précédente, il n'y a que deux lois de force répondant au problème; il s'ensuit alors qu'on ne peut avoir que les deux lois
que nous avons trouvées déjà.
Un raisonnement analogue au premier raisonnement, et en ayant égard à (4) du n^ 1, nous montre que, si la loi de la force est de la forme
F = ff{x', Xjjy) r ou F = <p(a?',a?) r, il ne peut y avoir que deux lois, à savoir
que nous avons trouvées déjà, sans quoi il sera possible d'éiablir entre les coordonnées x^\.y une seconde relation distincte de Téquation de la conique /"(j:, y^ = o, ce qui est absurde. Il en résulte, comme conséquence, par la transformation corrélative, qu'il n'y a que les deux lois
xr-^{ax' -V- by'-h c^r, x-*(ax''-^ a bx'-i- c)^ r.
11 nou^ resie enfin à examiner le cas où la fonction u dépend à la Ibis de x,y, x' cl y.
( 543 ) Remarquons d'abord que la loi
qui résulle comme conséquence des relations (4) du n® 1, et où X, p., V, X', p.' sont des constantes, satisfait au problème, de même que la loi qui résulte par la transformation corrélative
Remarquons aussi que ces deux lois ne sont pas ootnrellesy c'est-à-dire distinctes de celles que nous avons trouvées déjà. En effet, il suffit de faire une transformation des axes de coordonnées ayant la même origine, pour ramener ces lois aux deux lois
(Xia;, + fi,^,^v)»'^^' *^* :rî
que nous avons déjà déterminées.
Il en résulte alors que toute loi de force de la forme
doit, d'après (4), se réduire à Tune ou l'autre des deux lois précédentes; sans quoi il sera possible de trouver entre :r et ^ une seconde relation distincte de la conique fi^x^y) = o, ce qui est absurde.
En résumé, le problème est entièrement résolu et u'adniet d'autres lois de force que les huit lois :
[i.(ax -h by -h cy-^r^ \t.{fix^ -^ ibxy -h c/' ) *'*i
\k{ax' -h btà ->r- c)^r^ yi(ax'^-h i bx'y'-h cy'*)^ rj
lix'^{ax -\- by -^ c)-'^r^ Ikx'* {ax^ -h -x bx -h c ) *r,
;ji a:-' ( a ar' -H 6/' -h c)'r, [ix-^{ax'*~h 'ibx' H- c )*/-.
( 544 ) 9. Nous allons terminer par quelques théorèmes généraux conduisant à des trajectoires qui sont des coni(|ues.
Théorème I. — Si l'on donne une droite D et un point O, et si un point matériel se meut dans le plan de la droite et du point sous l'action d'une force telle que, si en chaque point de la courbe hodographe correspondant au mouvement le moment de la vitesse du point géométrique de la courbe hodographe, par rapport au point O pris pour origine de la courbe hodographe, est proportionnel au cube du moment de la vitesse du point correspondant de la trajectoire par rapport au même point O et inversement proportionnel au cube de la distance du même point de la trajectoire à la droite D, la trajectoire sera une conique ayant la droite D pour polaire et le point O pour pôle.
Théorème IL — Si un point matériel se meut dans un plan sous faction d'une force telle que^ si en chaque point de la courbe hodographe le moment de la vitesse du point géométrique de la courbe hodographe, par rapport à un point Jlxe O du plan de la trajectoire pris pour origine de Fho^ dographe, est proportionnel au cube du moment de la vitesse du point correspondant de la trajectoire par rapport au même point fixe, la trajectoire sera une conique ayant le point Jixe pour centre.
Théorème III. — Si un point matériel se meut dans un plan sous l'action d'une force telle que, si en chaque point de la courbe hodographe le moment de la vitesse du point géométrique de la courbe
( 545) hodographe, par rapport à un point fixe du plan de la trajectoire pris pour origine de la courbe hodographcy est proportionnel au cube du moment de la vitesse du point correspondant de la trajectoire par rapport au même point, et inversement proportionnel au cube de la distance du même point de la trajectoire au point fixe, la trajectoire sera une conique ayant le point fixe pour foyer.
Les réciproques de ces théorèmes sont aassi vraies.
Ln démonstration des théorèmes énoncés ci-dessus pont se faire en s'appuyant sur le théorème général suivant, qui est une interprétation géométrique de \\\ne des équations intrinsèques d'Euler :
Si un mobile se meut dans un plan, le moment de la vitesse du point géométrique de la courbe hodographe par rapport à un point du plan de la trajectoire pris pour origine de Vhodo graphe est en raison directe du cube de la vitesse du point correspondant de la trajectoire et en raison inverse du rayon de courbure.
On peut établir ce problème soit en partant de Téquation d^Euler, soit encore en partant des équations du mouvement; on aura, dans ce dernier cas,
x'.g=Mt(..).
où Ml(P|) est le moment de la vitesse du point géométrique de la courbe hodographe, par rapport à l'origine des axes de coordonnées qui est aussi l'origine de la courbe hodographe.
Si nous désignons par p le rayon de courbure en un
Ann. de Mathémat., 4* série, t. VI. (Décembre 1906.) 35
( 346 ) point de la trajectoire, on aura
d'où enfin
Mt(i',)= — .
A l'aide de ce théorème, la démonstration des trois théorèmes se ramène à chercher les courbes telles qu'en chaque point on ait
où K est une constante, d est la distance d'un point de la trajectoire à la droite D, p est la distance du point fixe à la tangente à la trajectoire, et r est le rayon vecteur.
Nous avons montré dans une Note, Sur le rayon de courbure d'une conique {Nouv, Ann., 4** série, t. III), que les courbes correspondantes sont bien les coniques qui figurent dans les énoncés des théorèmes précédents.
