i-u'aX
donc
ces
égalités ii*ont lieu q
ue si
ri = o
ou
ajj, = 0.
L'équation générale des lignes asymptotiqucs est D dflt«-H a D'ûfa d^ -t- D'rfp*= o.
Le plan tangent ayant pour équation
Z — 5=/?(X — ar)-H9(Y— j^), on u
D =px'!it -+■ g y a* — 5jt« = -h ait x,
( 548 ) L'équation demandée est ^
Le coefficient de dad^ est nul, donc les a = const..» ^ = const. sont conjuguées sur S.
L'équation du plan tangent nous permet de voir que ce plan passe par le point fixe (o, o, a); ce point est le sommet du cône, le lieu est l'axe des z.
2** Dérivons trois fois le premier membre de l'équation du plan tangent
(a— Pai)X-+-apY — Z-f-a = o, on a
{ua. — paJcp)X H- aipY -hi = o, (««• — Païtp)X-H aJipY =o, (aï.- pttï.p)XH- aiï.p\ = o.
Les deux dernières équations doivent être identiques:
Intégrons, on a d'abord
u = Map-HaNH-P,
M, N et P étant des fonctions quelconques de P seule. Pour achever l'intégration, posons
tt = i'K-j-aBiH-Bi,
K étant une fonction de ^.
L'équation différent ici le devient
t^(K — MK') = p^MK en posant
B, = MB; -h N, B,= MBi-hP,
le produit (^7 est une fonction ^ de ^ seule; donc
tt = AB + aBi + B,.
Cette condition est d'ailleurs suffisante; Féquation du plan tangent devient
[AB -H aB,-t- B,— p(AB'-i- aB; -h B;)]X
-4- ( AB'-H aBJ -+- B;)Y — Z -+-a = o.
Ce plan passe le point fixe
(B — (iB')X H-B'Y =0,
(Bi-pb;)X4-b;y + i =0, (B,— ?b;)Xh-b;y-z = o.
Lorsque
Il = AB +aBiH-B„
Mp=: AB'-HaB'j-HBi.
L'équation différentielle linéaire est
(M aB, — B,)B'— (wp— aB; — B;)B = o,
Su iF r
la substitution donne une équation de la forme Pp-^qq = R.
Les équations d'une caractéristique sont ^ = p et ^ — /?a?-.^j^ = a,
oii p et q sont des fonctions de^ et du paramètre a: A étant une fonction quelconque donnée de a.
Los surfaces intégrales sont les surfaces S, et les équations qui déHnissent le sommet du cône relatif à une ligne ^ = consl. sont indépendantes de a et de A.
3" Les équations de la droite D étant
a^x -\- bty -H CiZ = o
le système formé par ces deux équations et les troi& équations précédentes, définissant le sommet tlu cône^ doivent avoir une solution; donc
a, B'- 6,( B - pB') -f- c,(BB; - B, B') = o, a,B -^2(B — PB')h-c,(BB; — BjB') = o.
La fonction 6 étant quelconque, mais donnée,
Intégrons
B,= F,(â)-4- Bx const., de même
B,= Fi(fJ)-hB X const.; donc
M = ( A -+- a X const. -h const. ) B -^ a F, ( ^ ) -+- Fj ( p ). Posons
B,= A,Ph-X:,.
Les deux équations différentielles deviennent
B(;i,ci — 6,)-hB'[p(ô, — A,ci)-+-ai— A-,c,] =o, B(AjC,— bt) -f- B'[p(é>2— AjCj)-!- *i— XjCî] = o.
Ces deux équations sont satisfaites quelle que soit B, si
Ail = — , Ati = — 9 /la = — > Al = — •
Cl Cx Cl Cl
(55. ) L^équalion diiTérentielle des lignes asympto tiques est dans ce cas
Les variables sonl séparées
En rapportant ces surfaces à de nouvelles coordonnées ayant' pour axe des z la droite D, le lieu des sommets des cônes relatifs aux lignes a = const. sera le nouvel axe des 2, c^est-à-dire la droite D, et l'autre lieu sera l'ancien axe des z. D'après le théorème de KônigSy les plans passant par la droite D et les cônes circonscrits ayant leurs sommets sur cette droite déterminent également deux réseaux de lignes conjuguées; donc les courbes a = const. sont situées dans des plans passant par la droite D : il est facile de le vérifier en éliminant B et p entre les expressions des coordonnées qui suivent, on a
axx-^bxy-^cx ''^
Les équations de l'axe des z primitifs dans ce nouveau système d'axes étant
a^x -4- bijr -H c^z = o, a,^x -\- b^y — c^z = o.
Cette réciprocité nous montre que, dans le nouveau système d'axes, les expressions des coordonnées seraient de la même forme que dans l'ancien système après avoir permuté a et ^ puis remplacé les coefficients ai, . . ., C2 par a^, . • ., C4.
On obtiendra les expressions des coordonnées d'un
( 55a ) point d'une surface du deuxième groupe en remplaçant les coefficients tZ|, . • ., c^ par a^, . . », C4.
Rendons homogènes les coordonnées, on a pour les deux groupes de surfaces
pi5 = «A'B — AB -H pi(hty -^ kfX), pit = A'B — p,(A,j^-hA-i3?);
PîJK = -?,
pi^ = aA'B — Ah -^ pt(h^y -h kix)f
ptt = A'B — p,(A,7-4-Xr,ar).
L^un des groupes se déduit de Fautre par la transformation homographique
z — htjr — kfX ^ Z — h^Y *- k^\,
D'ailleurs, la transformation homographique
z — hty-^ktx^ Z, < -+-A,^-4-*iar=: T
ramène Téquation d'une surface du premier groupe à la forme plus simple
p«=aA'B-AB, -^ A'B'
ùt =A'B A
^ est une fonction de a seule; donc Téquaiion d-une
( 553 ) sarface est de la forme
^et cp étant des fonctions quelconques.
GORRBSramANGE.
M. Hilaire. — A propos des deux articles de M, Brin card sur la Géométrie de direction (avril et octobre 1906, p. i59 et 133).
Au début de son premier article, l'auteur se demande si Laguerre n'a pas été conduit à la Géométrie de direction par des considérations de Géométrie dans l'espace.
Le fait est certain ; dans une Notice écrite pour le Journal de V Ecole Polytechnique et reproduite par les Nouvelles Annales (1887, p. io5), M. Rouché explique d'unes façon très nette comment Laguerre a puisé dans la Géométrie de la sphère l'idée de sa théorie des cycles (§ VI, p. i45 et suiv.).
La phrase qui termine le paragraphe VI (p. i48) résume la Note rappelée par M. Bricard au début de son second article.
Dans le premier article je relève une faute d'impression (*).
M. Hilaire. — Sur le problème de Mathématiques élémentaires proposé au dernier concours d^Agrégation (septembre 1906, solution de M. Clapier, p. 4 11).
Le lieu demandé par la première partie de l'énoncé s'obtient de suite par l'application du théorème très général que voici (voir, par exemple, un article de M. de Saint-Germain, A^ A., 1884, p. 37 et 38) :
Soient n points, A, B, G, ..., L affectés chacun d^un coefficient spécial a, p, y» • • •, ^ ; ** l^on désigne par 1 la somme a-f-p-HYH-...-+-Xc< par T le centre des distances
(*) Voir les Krrata.
proportionnelles relatif aux n points et aux n coefficients donnés y on a
MT =s '
Go théorème pouvait être connu des candidats, car il figure aujourd'hui, sous une forme un peu diiïérente, il est vrai, dans les traités de Géométrie {voir, par exemple, le Traité de M. Guichard, t. II. Compléments, p. 179, où le théorème est attribué à Leibniz).
On a, en conservant les mêmes notations,
