MF

Sur chacune des deu\ formes on voit que, £aMA étant

constant, MT Test aussi : donc le lieu des points Mi tels que a£MA est constant est un cercle (ou une sphère, si le point M n'est pas assujetti à rester dans un même plan), dont le centre est le point T et dont le rayon est aussi en évidence- La première forme convient mieux au problème d'agrégation, parce qu'elle donne immédiatement le rayon du cercle «•n fonction des ccMés du triangle ABC. On peut constater delà sorte que le rayon est nul pour le cercle correspondant à la combinaison des trois signes +. M. Clapier, qui appelle ce cercle S', n'a pas signalé cette particularité.

En résumé, sur les huit cercles formant le lieu complet, seuls les trois premiers Sa, Sb, Se sont des cercles proprement dits, le quatrième S' se réduit à un point, les quatre derniers sont imaginaires.

BIBLIOGRAPHIE

MéLANaEs DE Géométrie a quatre dime?îsions ; par E. Jouffret, — i vol. graod in-8 de xi-227 pages, av. 49 %"res. Prix: 7*^*", 5o. Paris, Gaulhier-Villars,

Cet Ouvrage posthume du colonel E. Jouffret fait suite au Traité élémentaire de Géométrie à quatre dimensions,

( 555 ) paru en 1903 et dont j'ai rendu compte ici même(*). Son but principal est de montrer, par des applications diverses, quel «-erours la Géométrie de l'espace et même la Géométrie plane peuvent tirer de la considération de figures à quatre dimensions.

Ce Livre est plus riche en résultats mathématiques que son prédécesseur; il est aussi plus rempli d'idées personnelles que ne le laisserait croire un premier examen : il semblerait, à voir le nombre des citations et des références, que l'auteur a simplement dépouillé beaucoup de Mémoires et s'est contenté d'en transcrire les résultats principaux. Mais le colonel JoufiVet était de ces savants modestes et peu communs qui s'effacent par prédilection et qui rougiraient presque qu'on les soupçonnât d'inventer. A regarder les choses de plus près, on se rend compte de l'elTort qu'a demandé la coordination de travaux souvent très ardus, écrits à des points de vue très différents les uns des autres; on est frappé de l'originalité de 1 exposition; on se trouve, en un mol, en présence non d'une compilation mais d'une œuvre personnelle.

Dans les deux premiers Chapitres, l'auteur revient sur les principes de la Géométrie à quatre dimensions et sur les trois premiers polyédroïdes, qu'il étudie plus à fond que dans le Traité élémentaire.

Les trois Chapitres suivants constituent la partie la plus intéressante, à mon avis, de l'Ouvrage. lUsont consacrés à l'hexa- <:ramme de Pascal, considéré d'abord en lui-même, puis dans •«es relations avec la surface du troisième ordre, et enfin dans •ics relations avec la figure à quatre dimensions que les géomètres anglais ont nommée hexastigine. On est frappé de voir, à mesure que le champ s'élève, les nombreuses propriétés de l'hexagramme se grouper peu à peu en conséquences simples de propriétés presque intuitives de l'hexastigme : l'auteur ne pouvait choisir de meilleur exemple à l'appui de sa thèse. Notons en passant que les trois Chapitres dont il s'agit contiennent une foule de renseignements sur la surface de troisième ordre, sur ses 27 droites, sur d'autres surfaces, etc.

Les deux Chapitres suivants traitent des hyperquadriques et

(i) 1903, p. aac).

de leurs intersections avec de noavelies applications à la Geométrie de Tespace.

Le dernier Chapitre enfin contient des développements philosophiques sur la question de Tobjectivîté de l'espace à quatre dimensions, sur la possibilité de son application à rintelligence du monde où nous vivons. De telles spéculations conduisent nécessairement à Texamen de certains phénomènes dont la réalité est affirmée par les spirites. L'auteur présente les arguments de Zollner avec la même conscience et la même mpartialité qu'il a étudié Thexastigme.... Avec trop d'impartialité, dirai-je presque, car on aurait aimé connaître ici la pensée intime de l'auteur.

Les 49 ligures de l'Ouvrage, dont quelques-unes sont plus compliquées encore que celles du Traité élémentaire^ ont été exécutées avec la môme perfection. R. B.

CERTIFICATS DB lATHÉIATIQUES GÉNÉRALES.

Caen.

Ëprëuvk écrite. — I. Trajectoires orthogonales des strophoïdes

a étant arbitraire. Construire une de ces trajectoires [l'équation d*une trajectoire est r* = C'sîn6(i-H îcos^Oi].

II. Etant donnés deux axes rectangulaires OX, OY, on considère un point A, de masse i , assujetti à glisser sur 0\, et un point B, de masse 8, libre de se mouvoir dans le plan OXY. Les deux points s'attirent avec une force égaie à 8 AB : à l'instant initial ils sont au repos, A à l'origine, B en un point Xq = yQ=: 9. Afouvement du système : construire la trajectoire en B.

Épreuve pratique. — Étant donnés trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, sur la parabole

on prend un point quelconque M, par lequel on mène MP parallèle à OZ et égale au double de l'aire comprise entre l'arc OM et sa corde : rectifier la courbe lieu des points P. Calculer l'aire cylindrique w engendrée par les droites MP et comprise entre les arcs OM, OP et la droite M P. En prenant le mètre pour unité de longueur et supposant l'abscisse des points M, P égale à 2, calculer eu à moins de i«"»*.

ds ^ ( f -H - a?« ) dxy

«•> = 7T H (i-har*)»,

wi= i™*,2645.

(Novembre 1906.)

Grenoble.

Composition. — 1® Intégrer le système d'équations différentielles

dx

a* Déterminer une solution particulière telle que, pour t = 0, on ait X = Oy y =^0. Construire pour cette solution particulière la courbe que décrit le point de coordonnées Xy y quand t varie.

3* Détermina: : |i° raire comprise entre cette courbe, l'axe des x et la droite a? = 1 ; 2* l'aire comprise entre la courbe et la droite x =s i.

4° Montrer que, par le point x = iy y = — i, on ne peut mener qu'une tangente à la courbe,

Ëprbuvb pratique. — I. Calculer les coordonnées du centre de gravité de Vaire limitée par la courbe

l'axe des x et la droite a? = ^, lorsque t est compris entre o et I.

Cas particuliers où <= -> /= --=• Que deviennent (es

formules lorsque t tend vers i?