Je démontrerai le théorème énoncé en vérifiant

que les trois droites DE, MN, FK' sont concourantes.

Prenons comme triangle de référence le triangle ABC,

et soient p^q^ r les coordonnées du point S. L'équation

de l'hyperbole équilatère ABCS', déduite de celle de la

droite OS, est

OLyz -\- ^zx -H -"(xy = o,

suus les conditions

a cos A -+- p cos B -f- Y cos G = o, OLP -H P? -4- yr =0.

Les coordonnées du centre R' de celte courbe sont, d'après un calcul facile,

a:o= a(p sinB -+■ ysinC — asinA), ..., ...;

comme on a

^cosG — /-cosB rcosA — /^cosG /?cosR — 7 cos A

( 57 ) on obtient, sauf un changement de signes,

Xo=(y cosC — r cosB) [^sinB — rsinC -^/>sin(B — C)], jtqzzz (r cosA — pcosC)[r sinC — p sinA -+■ q sin(G — A)], 5o = (jDCOsB — ^cosA)[/? sinA — ^sinB -H /• sin(A — B)J.

La droite SF ayant |)our équation ^

cos B

cos A

z(p cosA -- q cosB) — a7(r cosA -+- ^) -hjC/'COsB -hp) • l'équation de F¥J est

ir(rcosA-K q) — y(r cosB -h p) Xo{r cos\ -f- q ) — ^o(/*cosB -hp)

Cette équation peut être simplifiée. Lorsque la

droite OS est perpendiculaire sur AB, de sorte que

Ton a

p sin A — q sin B -h r sin ( A — B ) = o,

riiyperbole équilatère ABCS' qui eu est la transformée par inversion a son centre au milieu de AB, puisque ion a alors Zq= o; les points F et ¥J sont couCoudus, et la droite FK' n'est pas déreruuuée. Il suit de là (]ue le dénominateur du preuiier membre de Téquation ci-dessus, après qu'on y a remplacé Xo ei^o par leurs expressions en p^ ç^ /•, renferme en facteur la quantité

p sinA — y sin B -h /-sin (A — B)

qui entre aussi dans Texpression de Zq] pour faire la division on ordonm; par rapport à /*, le tenue en r^ disparait au dividende, ce qui réduit le quotient à être de

(58) la forme Hr 4- K, et le calcul des coefficients H et K, que Ton peut déterminer indépendamment l'un de l'autre, donne pour ce quotient

Q = rsinC{p sinB -h^rsinA) — cos C(/)'H- 2 pq cosC -hq^);

l'équation de FK' est donc

p^, x{rcosX-^q)—y{rcosB-hp)

Q /7C0sB — qcosX

Les équations des droites SD et SE étant

x(q cosB — r cosC) —y{pcosB -h r) -hz(pcosC -h q) = Oy y( r cosC — />cos A) — z(q cosG -h/>) -f- x(q cosA-H r) = o,

Téquation de DE est

(DE; ^ jr, x-^^ ^ i-y — 3 = 0;

^cosC-i-/? pcosG-hq

l'équation de MJN est d'ailleurs

(MN) arsinA -4-^sinB — ssiaC = o.

En écrivant que DE, MN, FK' sont concourantes, on a la condition suivante qui doit avoir lieu d'ellemême :

( ^ cos A -f- /•)(/? cos C -I- ç-) {pcosh -+• r) {q cosC-hp) {pcosC^q){qcosC^p)

sînA sinB sinC

(/•cosA-t-^)(/?cosB — ^cosA) (rcosB-i-/?)(9cosA— /?cosB) Q |

or, si l'on additionne les éléments des deux lignes extrêmes, on obtient les éléments de la seconde ligne multipliés par les facteurs communs

qr sinX -h rp sin B 4- pq sin G ; le déterminant est donc bien égal à zéro.