I. Pendule simple dans le vide

II. Un voyageur, qui se trouve dans un wagon en marche, abandonne librement à lui-même, sans vitesse relative^ un point matériel pesant en un point situé sur la verticale médiane du wagon, à 2™ au-dessus du plancher. On demande d^étudier le mouvement relatif de ce point pesant, par rapport au wagon, dans les deux cas suivants :

1** Le wagon a un mouvement uniformément accéléré; son accélération est de o", 5o par seconde, et sa vitesse est de 40'™ à Vheure, à IHnstant même où on Idche le point pesant,

ï* Le wagon se meut avec une vitesse constante de 3o*" à l'heure sur un cercle de 80" de rayon,

(Novembre 1906.)

Montpellier.

Épreuve écrite. — Quantités imaginaires, Représen tation trigonométrique et exponentielle. Formule de . Moivre,

Mettre log nép (a7M-^i) sous la forme X-t-iY, et vérifier que X et\ sont des fonctions de x et y vérifiant V équation de Laplace

oa?* oy^

Partant ensuite du développement de log(i -^ z) en série de Taylor, on y remplacera z par /-(cosô ■+■ tsinO), et Von séparera dans les deux membres la partie réelle de la partie purement imaginaire, ce qui donnera deux développements remarquables. Ces développements sont-ils va~ labiés pour toutes les valeurs de r et de 6.

On fixera ensuite son attention sur celui de ces développements qui ne contient que des sinus, et l'on montrera

que pour r = 1 il représente -> et Von se proposera de re-

trouver directement ce développement en développant - en série trigonométrique*

Épreuve pratique. -— On considère un cercle G et une tangente ON fixes. Par O on mène un rayon vecteur OM et Von projette M «s/i N sur la tangente fixe. On prolonge

OM ife MP = MN. Lieu de P.

Lorsque 6 varie de o* à 90", la courbe (P) enferme audessus de l'axe OC une aire que l'on demande d'évaluer.

(Novembre 1906.)

Toulouse.

Épreuve écrite. — I. L équation d'une droite, rapportée à deux cures rectangulaires Ox, Oy^ est

y^tx-^ t*,

OÙ t désigne un paramètre variable.

Construire l'enveloppe K de cette droite.

Calculer la longueur d'un arc OM de la courbe k, le rayon de courbure au point M.

A désignant le point de la courbe où le coefficient angulaire de la tangente est égal à un, calculer l'aire limitée par l'arc OA et par les tangentes aux extrémités de cet arc.

Supposant ensuite que t désigne *le temps, le point de contact de la droite mobile a un certain mouvement sur sa trajectoire K.

Trouver, à un instant quelconque, la vitesse, l'accélération normale de ce mouvement, et calculer l'énergie cinétique du point à l'instant où il passe en k, en supposant la masse du point égale à |.

(56. ) II. Trouver l'intégrale générale de V équation

d^x dx * • . / *

-T- i-j- -h a? s= C-' sm « -H 4c'.

Épbeuvb pratique. — i"* Calculer la quantité 9 déterminée par la formule

<p= T,o565L — ' -f-9 X lo-"' [' 5o3r j +0,0902

pour t = 326.

2** Calculer ç par la formule approchée

pour la même valeur de la variable t.

3" Trouver l'erreur relative commise en substituant la formule approchée à la form^ule exacte.

Note. — Dans les formules ci-dessus, la notation La indique le logarithme népérien de a,

(Novembre 1906.)

GBRTiPiGATS DE MÉGANiOlIR RATIONNELLE.

Caen.

Épreuve écrite. — L Un point M, de masse i, est assu» jetti à rester sur la surface S définie par les équations

il est attiré vers l'axe des z par une force — r— ; à l'in-

X =i ucQ%^^ j^ = Msini};, z=zm^\

iré vers /'< stant initial, on a

. du mtù d^ (1)

Déterminer le mouvement de M et sa pression sur S. -rlt/i. de Afathémat., 4' série, t. VI. (Décembre 1906.) 36

SOLUTION

d^ . du m^ta

II. Une plaque très mince, homogène, soustraite à l'action de toute force extérieure, a la forme d'un triangle isoscèle OAB dont la hauteur OH, bissectrice de V angle O, est égale à h et la base AB à h /6. La plaque peut tourner autour du sommet O qui est fixe.

Déterminer son mouvement en supposant qu'à l'instant initial elle est animée d'une rotation 2(0 autour d*un axe qui se projette sur OAB suivant OH et fait avec cette droite un angle de 3o".

SOLUTION

Les moments principaux relatifs au point 0 sont proportionnels à 1, a, 3 et Ton est dans le cas simple du mouvement de Poinsot (B = D)..

itpRRUVE PRATIQUE. — Calculer, à o',ooi près, le temps que met un point pesant pour parcourir une circonférence de j"^ de rayon située dans un plan vertical. La vitesse au point le plus haut est i^fg (^ = 9", 809). On demande la vitesse au point le plus bas du cercle*

(Juillet 1906.)

Grenoble.

RiMiEUVE ÉCRITE. — Un losangc articulé, pesant, OABA', est constitué par quatre tiges de même masse M, de même longueur l. L'un des sommets O du losange est fixe; le sommet opposé B décrit la verticale descendante Ozi du point O, Les liaisons sont sans frottement.

On désigne par a 6 l* angle AOA' du losange, par <^ l'angle que fait le plan du losange avec un plan vertical fixe XiOzi.

!• Déterminer le mouvement du système et discuter, dans le cas particulier où la dérivée de ^ par rapport au temps est nulle à l'instant initial.

2° On considère un second système identique au précédentf assujetti aux mêmes liaisons et, en plus, à une liaison nouvelle obligeant le plan du losange à tourner uniformément autour de Oz\, Déterminer le mouvement du système,

(La discussion n*est pas demandéô pour cette dernière question.)

Éprbvve pratique. — Une plaque homogène d'épaisseur négligeable a la forme d'un triangle équilatéral ABC de côté a. Ce triangle est pesant et se trouve assujetti à

sç n\ouvoir dans un plan vertical fixe. En B e/ G sont ifH\Rfçfntés, normalement au plan du triangle, deux clous <^ masses et de dimensions négligeables. Chacun de ces clous est l'axe de deux roues planes infiniment minces, ^circulaires, pesantes, qui lui sont normales et qui sont équidistantes du plan du triangle.

Les quatre roues ont même masse m et même rayon r. Elles s^appuififit sur la surface intérieure d'un cylindre circulaire {fr4^ de rayon, a -\- r dont les génératrices sont normales au plan de la plaque; elles ne peuvent que rouler sans glisser sur les cylindres. Les liaisons sont sans frottement.

Soient AH la hauteur de ABC issue de \y ^ l'angle

de XH avec la verticale descendante Xm, 0' la dérwée de 0 par rapport au temps t.

On demande : i* De trouver le moment d'inertie Ii du triangle ABC relativement à son sommet A;

-i'* De calculer {pour des valeurs de d et 0' supposées connues) les vitesses angulaires des roues par rapport à des axes de directions fixes ;

3® D'écrire V équation du mouvement du système, de déterminer la durée des oscillations infiniment petites autour de la position d'équilibre stable;

4** De calculer les réactions exercées par les clous sur la plaque ABC. On admet que ces réactions sont dans le plan de la plaque, normales au cercle décrit par les points B et C. (Juillet 1906.)

Montpellier.

Éprkuve écrite. — I* Mouvement d'un cône solide^ homogène et pesant, dont le sommet est assujetti à se déplacer sans frottement sur un plan fixe incliné sur l'horizon,

2* Étudier en détail le mouvement et, en particulier, reconnaître si le cône vient toucher le plan fixe, dans les hypothèses suivantes : le rayon de base du cône est égal à \, la hauteur est égale à 2, le eosinus de l 'angle du plan

fixe avec l'horizon est égal à -^- A l'origine du mouve-

ment, l'axe du cône est immobile et perpendiculaire au plan fixe; le cône est animé d*une rotation donnée autour de son are.

Épreuve pratique. — Distribution des vitesses dans un solide en mouvement.

Quel est, à un instant donné, le lieu des points du solide dont les vitesses concourent en un point donné?

(Juillet 1906.)

Rennei.

Épreuve théorique. — Une barre rigide AB, homogène et pesante, peut tourner librement autour de son extrémité A. A Vautre extrémité B s'attache un fil flexible inextensible

et de masie négligeable BOP, qui vient passer en 0 dans un anneau très petit, et retombe ensuite verticalement, supportant un poids P. Tous les éléments restent dans un

même plan vertical; les points fixes K et 0 sont sur une même horizontale, la distance AO est égale à la longueur de la barre; il ny a pas de frottem,ent*

Déterminer les positions d'équilibre et étudier les mouvements possibles du système, en particulier les petits mouvements. Calculer les réactions.

Épreuve pratique. — Centre de percussion d'un rectangle mobile autour d'un de ses côtés AB.

Le rectangle considéré comprend un châssis formé d'un cadre et d'une traverse, qui limitent deux panneaux A'B'G'D', A'B'C'D'.

Le cadre et la traverse ont la même densité p ; les pan-

neaux ont la densité p'= ^ p.

Dimensions

AB = 2", 10, A'B'=i-, B"A' = o",io

Largeur du cadre : o", lo.

BC = o'",8o, B'C'=o'",6o, A'B'=o",8o.

(Juillet 1906.)

Tonloase.

Épreuve écrite. — On donne un cône circulaire droit dont la base repose sur un plan horizontal, dont l'axe SO est vertical et qui est absolument fixe.

' Une roue circulaire dont le rayon est égal à la génératrice SB du cône porte à sa circonférence un canal annulaire de très petite section, dans l'intérieur duquel on a introduit une sphère homogène pesante de masse m, d*un très petit diamètre égal à celui du canal et qui peut glisser sans frottement dans ce canal.

Le centre de la roue s^ appuie sur le sommet S du cône fixe; elle est assujettie à rouler d'un mouvement uniforme sur le cône, son plan restant constamment tangent au cône, de sorte que les rayons de la roue viennent s'appliquer sur les génératrices du cône et les points de la circonférence de la roue sur les points de la circonférence de la base du cône.

On demande d'étudier le mouvement relatif de la sphère dans le canal.

Données : a l'angle au sommet du cône; tu la vitesse an^

(567) ^ulaire de rotation constante du plan de la roue autour de chaque génératrice du cône; R le rayon de la roue; m la masse de la petite sphère mobile; 90 l'angle formé par le rayon SMq de la roue avec V horizontale Sx à l'instant initial.

On supposera nulle la vitesse initiale relative.

Epreuve pratique. — La densité $ en tout point d'une sphère de rayon égal à l 'unité suit la loi

8 = - tf-r^ € = 2,718-28,

r désignant la distance du point au centre.

On demande :

\° La masse totale de la sphère;

2<^ Le moment d'inertie de la sphère autour d'un de ses diamètres ;

3^ En supposant cette sphère animée d'un mouvement

de translation uni/orme de d'unité de longueur par

seconde et d'un mouvement de rotation autour d'un de ses diamètres de un tour en 24 heures, de calculer la distance au centre de la percussion capable de lui communiquer ce double mouvement. (Juillet 1906.)

SOLUTIONS DE OUBSTIONS PROPOSÉES

Soient AIB une corde d'un cercle, AJB un des arcs soustendus, l et J étant les points milieux; M étant un point quelconque de la corde AB, élevons par ce point une perpendiculaire sur cette corde; elle va rencontrer une des

cordes AJ ou JB en un point Mi, AJ si -T-=r- < -* et iB

AB a

si -j^ > -• Procédant sur la corde qui comprend Mi

comme tantôt sur AB et M, on obtient un point M^. On obtient ainsi une suite de points Mi, Mj, . . ., M» qui ont pour limite un point de l'arc AJB, le partageant dans le

rapport -j-^* On demande les coordonnées du point Mj».

A. Pbllbt.

SOLUTION

Par M. LsTiBRCB.

Supposons -jr^ < -; O étant le centre du cercle» prenons

pour axe des x le diamètre OA, pour axe des y le diamètre

perpendiculaire, et soit a = arc AJB. Nous définirons un

point quelconque G de la circonférence par Tangle de OC

avec Orr.