AM ^ I

Si -r-^ > -> on considei Ad "2

prendra OB pour axe des x,

c- AM ^ I ... , BM ^ I „

Si -7-^ > - > on considérera le rapport -=r-7- < - et 1 on Ad 2 '^ BA 2

Soit m un nombre impair positif quelconque» Formons la suite

[/m], [/âm], ..., [/(m — i)/n],

en désignant, suivant l'usage, par [x] le nombre entier défini par

i* Dans la suite ainsi obtenue il ne peut y avoir plus de deux termes égaux; 2* La même suite, au contraire, contient des couples de

termes égaux, et le nombre de ces couples ^^M y 1 •

Exemple. — Pour m = 9, la suite est la suivante : 3, 4» 5, 6, 6, 7, 7, 8,

et elle contient 2=7 couples de termes égaux.

(R. Bricard.)

SOLUTION

Par M. Parrod.

I* S'il y avait trois termes égaux, ils seraient consécutifs; on aurait

a*£/i/n<(aH-i)S a»<(A-i-2)/n<(a + i)«, donc

or

a < m — I ; c'est donc impossible.

a** Cette suite renferme des termes égaux, car le nombre des termes est supérieur à la différence des extrêmes plus ?

Il y a donc au moins [^m] — i couples de termes égaux. A deux termes égaux correspondent les inégalités

donc

Or

a«gA/n<(a-»-i)«,

^ ^ /Il — I /n<2a-i-i, a> <

par suite pour ces termes h

La différence de deux termes consécutifs peut être supérieure à I ; on aurait alors, par exemple,

donc

et

a«<(yim<(a-Hi)»,

^ . o ^ /n — 3 m^2a-4-3, al

On a ainsi partagé la suite en deux; la différence de^

extrêmes de la première est '[v^]'+"'» ^^ nombre

des termes est 1 ^ l» I^ différence est le nombre dont il faut augmenter [/m] — i pour avoir le nombre exact des couples

égaux ; on a ainsi

ou

Remarque, — Le théorème est encore exact quand m es

pair. Quand m est un multiple de 4i pour A = -j on a

et

ces deux termes sont égaux, mais aucun de ceux qui les précédent ne sont égaux.

(ISM, p. 96-)

Soient KBCy A'B'C deux triangles. Si les droites AA', BB', ce rencontrent respectivement les côtés a^by c du premier triangle en trois points situés sur une même droite, les points (a, a'), (6, b'), (c, c') se joignent aux sommets A', B', C du second triangle par trois droites concourantes.

SOLUTION

Par M. G. Fontené.

Le triangle ABC étant pris comme triangle de référence, soient

ax -+- a'y -h a'z = o, bx-^ b'y -H b'js = o, ex -+- c'y -h c'js s= o

les équations des côtés du triangle A'B'C. Si Ton désigne par A, A', A% B, B', . . ., les mineurs du déterminant

affectés des sigoes qoî coocerneot le développement de ce détermioant, on a pour les coordonnées da point A', par exemple,

de sorte qoe la droite AA' rencontre le côté BC ou a en un point dont les coordonnées sont O, A', A'; l'bypotbèse de renoncé se traduit donc par la condition