O A' A' BOB
Une droite passant en A' a une équation de la forme P(A2r-f-6>-i-6'-«) +Y(cx-f-c>-hc'^) = 0; elle passe au point (a, a'), si Téquation
-+- P( Aa? -h b'jr -4- 6'^) -h Y(car -h c'y -f- c'z) = o
peut se réduire à j: =0, c'est-à-dire si Ton p^ut a\oir
il faut donc prendre
et l'équation de la droite considérée est
Bibx-i-.by -4- 6'^) -h C(cir ■+- c'y -f- c'z) = o
en écrivant que cette droite et les deux droites analogues sont concourantes, on retombe, comme l'on voit, sur la condition (i).
On démontrerait d'une manière toute semblable le théorème suivant : Soient ABCD, A'B'C'D' deux tétraèdres. Si les droites AX', BB', CC, DD' rencontrent respectivement les plans a, 6, c, d des /aces dupremier tétraèdre en quatre
points situés dans un même plan, les droites (a, a'), (bj b'), ... déterminent avec les sommets A', B', C, D' du second tétraèdre quatre plans qui ont un point commun.
Autres solutions de MM. Paintin, Parrod, Retali, Sicard et
SOKDAT.
NOTB.
Voici une démonstration par Ja méthode de Grassmann de l'extension à l'espace indiquée par M. Fontené. Une démonstration toute semblable s'appliquerait à la question 2035.
Le point de rencontre de la droite AA' et du plan a ou BCD est donné par le produit régressif
AA'.BCD = AA'GD.B-hAA'DB.C-*-AA'BC.D.
En écrivant que ce point et les trois points analogues sont dans un même plan, on obtient la condition
o A A' CD AA'DB AA'BC
BB'GD o BB'DA BB'AG
CC/BD CCD A o GC'AB
DD'BG DD'CA DD'AB o
D'autre part la droite (a, a') est donnée par le produit régressif
B'G'D'.BGD = B'BCD.G'D'-hG'BCD.D'B'-f-D'BCD.B'G',
et le plan passant par cette dn>ile et par Je point A' a pouf expression
B'BGD.C'D'A'-^C'BCD.D'fi'A'-t-D'BGD.B'GA' = B'BCD.6'-+-C'BGD.c'4-D'feGD.i/'.
Kn écrivant que ce plan et les trois plans analogues passent par un même point, on a > , -
o B'BCD G'BÇP D'BCD
A'GDA p G'GDA D'GDA
A'DAB B'DAB o D'DAB
A' ABC B'ABC G ABC o
(575) Si l'on écrit la relation (i)
tT
la relation (2) s'écrit
ce qui revient manifestement au môme.
QUESTIONS
S05d. La parabole inscrite dans le quadrilatère formé par les deux axes d'une conique, la tangente et la normale en un point M de cette conique touche, comme l'on sait, la normale au centre de courbure en M. Trouver le lieu du foyer de cette parabole lorsque le point M se déplace sur la conique.
(A. Pellet.)
2056. Trouver le minimum de la plus courte distance des cercles osculateurs aux sommets situés sur le grand axe ei le petit axe d'une ellipse, pour les ellipses ayant même cercle de Monge ou même axe. (A. Pellet.)
20o7. Si, dans le triangle arithmétique, on multiplie les nombres figurés successifs d'ordre p à partir du premier, par les coefficients successifs du développement de (a: -h a)" à partir de CJ, et si l'on ajoute les /i — ^ -H 1 produits affectés
( «7.6 ) alternativement du signe H- et du signe — , la somme obtenue est nulle pour q^p\ et pour ^ = /? -4- 1 , /? -+• 2, . . . , n, ce qui suppose n'^p^ on obtient les coefficients du développement de far-ha)»-/»-*. G. Fontené.
2058. Dans le triangle ABC, on mène les parallèles Ar, By, Cz à une direction donnée. Démontrer que Taxe d'homologie A(Xfxv) du triangle ABC et xyz touche l'ellipse tangente aux milieux des côtés de ABC en un point a> qui est le centre commun à la conique Q inscrite à ABC en x, y, z et k la conique R inscrite en A, B, G au triangle des droites AX, Bfx, Gv. (P, Sondât.)
IRRATA.
Page 171, ligne 12, au lieu de : (P), l/re : ('(]
