DE TOUTE LIMITE

Par m. V. JAMET.

Préoccupé par le désir d'atteindre au maximum de simplicité dans l'exposition de cette question toujours eflrayante pour les débutants, je me suis aperçu qu'elle; perdrait beaucoup de sa difficulté pour un élève qui connaîtrait préalablement le développement en série entière de (i — J^)^'", au moins pour les valeurs entières et positives de m. Ce développement, on peut le faire dériver du théorème sur la difTérentiation des séries entières, appliqué m — i fois de suite au développement connu de (i — x)~*, savoir

H- a? H- ar* -h a?» -h . . . .

Mais pi*océder ainsi, ce serait simplement déplacer la difficulté, car le théorème invoqué présente, à mon avis.

(64) des difficullés du même ordre que ia recherche de la

liinile de ( I H ] • J'ai peasë, en conséquence, qu*îl

y avait intérêt à établir le développement de (i — ^)~"'î par un procédé qui suppose acquis un minimum de connaissances préalables, savoir le calcul algébrique, et les propriétés les plus élémentaires des séries.

i . Tout d'abord, on reconnaît que la séiie

I H X -\ CC^ -î X^ -h. . .

est convergente, quel que soit m, pour toute valeur de X comprise entre +1 et — 1. Soit donc, pour une telle valeur de x, y m la somme de cette série, et soi! ym,q 1» somme de ses ^ -h 1 premiers termes. Par la nmhiplication des polynômes, on trouve

[^ri /m(//n-i)...(/?i H-/> — \) m(ni-\- i)...(m-hp — 2)\ 1

ou bien

Mais, si le nombre q augmente au delà de toute limite, le dernier terme du second membre tend vers zéro, car il est égal au terme général d'une série dont

(65) on reconnaît aisément la convergence. On on conclut