Ils se partagent en trois classes

1° Cenx qui, commençant par un B sur l'axe des y^ restent du même côté de la bissectrice, mais peuvent avoir avec celle-ci certains points communs {fig* a) :: soit bp leur nombre;

Up)

Fig. 2. — Permutation de la première catégorie.

1^ Ceux qui, commençant par un B sur Taxe des y y traversent la bissectrice au moins eu un point;

3° Ceux qui commencent par un A sur Taxe des x,

4. Soit K(9 -I- I, y -I- i) (yîgr» 3) le premier point à partir de l'origine où un tracé de la seconde catégorie traverse la bissectrice. En ce point il y a deux A consécutifs : les termes précédant et suivant immédiatement sont des B.

Le tracé touche par conséquent la bissectrice aux. points w(y, y), n{q -f- a, y + a).

Entre l'origine et le point m le tracé commence par

( '03) un Bet reste dn même côté de la bissectrice ; le nombre des tracés possibles est &ç.

Enti^e le second point n et l'extrémité P, le tracé commence soit par un B soit par un A; c'est un des tracés compris dans le carré ayant pour sommets ces deux points^ leur nombre est ap^^ç^^y

Fig. 3. — Permutation de la deuxième catégorie.

Le nombre total des tracés de la seconde catégorie est donc

^bgap-,(ç+f) {q variant de o à /? — -i), en convenant de poser «q = io = * •

5. Dans le cas où la permutation appartient à la troisième catégorie, soit K(y + a, y -4- a) {fig* 4) le premier point où le tracé touche la bissectrice.

Si ce point a pour coordonnées (i, i), la permutation commence par ÂB. Le nombre des tracés correspondants à partir de (i, i) est évidemment ap^^.

Ce cas étant éliminé, la permutation commence par deux A suivis d'un B et arrive au point K par un B.

Abslractîon faite de ces quatre lettres, le tracé a ponr extrémités les deux points fR(2, i), n(^ -+-2,^-4-1) situés sur une parallèle à la bissectrice et l'esté constamment du même côté de cette droite. On reconnaît facilement que ce tracé, pris en sens inverse et considéré comme ayant son origine au point /i, remplit les mêmes conditions que ceux de la première catégorie.

(fp,p^

Fig. 4* — Permutation de la troisième catégorie.

Le nombre des tracés possibles entre les deux points extrêmes est donc hq,

A partir du point K auquel on arrive par un B, le nombre des permutations est a/»(^+a).

Le nombre des permutations de la troisième catégorie est par conséquent

ap-\ -+-^,(&yap-(y-n) (g variant de o à ^ — 2).

Réunissant les trois résultats obtenus, on a la formule

(1) ap=^î}p-\-% 2, ^q<^p-(q+t) -4-0/>-i.

' U. Resit; maintenant à déterminer le nombre bp des permutations de la première catégorie.

Soit R(f 4- 2,7 + a) {fig* a) le premier point où l'un des tracés touche la bissectrice. Si ce [loint a pour coordonnées (i, i) la permutation commence par BA. Le nombre des tracés correspondants à partir de (i, i) est bp^. Ce cas éliminé, la permutation commence par un B et arrive en K par BAA. Abstraction faite de ces quatre lettres, on a, comme précédemment, entre les deux points m(o, i), 1(7, q + i), situés sur une parallèle à la bissectrice, un tracé présentant les caractères de ceux de la première catégorie et dont le nombre est b^f.

 partir du point K jusqu'à la fin, le tracé conserve les caractères de ceux de la première catégorie dont le nombre est i^(^^.aj.

On a par conséquent la formule suivante :

il) bp^bp-x->r ^ btfbp-iq+t)'

Les deux formules (i) et (2) permettent de calculer les valeurs des a p.

7. Le Tableau ci-dessous donne les résultats qu'on obtient pour les premières valeurs de p.

'JL

Ainsi, si Ton a seize cartes, huit rouges et huit noires,

( >o6) rangées dans un ordre quelconque, la probabilité pour quil n'y ait pas plus de deux caries rouf es ccmsécutives, les séquences de noires étant quelconques, est

16! io.ii.i3

Lorsque p augmente, la probabilité diminue. Si l'on cberche la valeur de p pour laquelle elle se rapproche

le plus de -9 on trouve qu'elle a exactement cette valeur

pour ^ = 5. Elle est, en effet,

[M'ib]

SUR LA CONSTRUCTION DBS COURBES AL6ÊBRI0UBS;

Par mm. PERNOT et MOISSON, Anciens élèves de TÉcoIe Polytechnique.

Pour étudier une courbe dont Téquation n'est pas résolue en j^ aux envii ons de Tun de sqs points, auquel on a transporté l'origine, ou à Tinfini, les méthodes généralement employées sont basées sur le calcul des infiniment petits. On est conduit, dans la pratique, k des calculs délicats, surtout lorsqu'on étudie une branche multiple singulière à l'origine, ou une branche parabolique multiple.

Cette étude se fait aisément lorsque :t: et ^ sont exprimés au moyen d'un paramétre, et très complète* ment lorsque la courbe est unicursale.

Les- prooédës que nous allons exposer consisient et remplacer la courbe proposée par une courbe dont Téquation est plus simple, ayant mêmes tangentes ou mêmes asymptotes au point considéré, et même position par rapport à ces droites. Dans la plupart des cas, la courbe auxiliaire peut être choisie unicursale et permet de tirer des conclusions immédiates; il en est ainsi lorsque la tangente étudiée est simple ou double.

Dans le cas d'une tangente multiple, on est conduit à la discussion d'une équation ordonnée suivant les^ puissances croissantes de j^ — mx, m étant le coefBcienl angulaire delà tangente.

En particulier, pour une équation de la forme

on peut étudier de cette façon, par une méthode différente de celles de Puiseux et de Newton, les déterminations réelles de x et y aux environs de Forigine; les méthodes précitées restent préférables, dans le cas général, lorsqu'on veut déterminer plus exactement l'ordre de Tinfiniment petit j^ ou x.

Nos procédés ont donc ponr but d'obtenir le tracé correct d'une courbe aux environs d'uu point ^ la même méthode s'applique à l'étude directe des branches infinies, sans avoir recours à la transformation homologique qui permettrait de les ramener à distance finie.

ÉTUDE d'uME courbe à l'oRIGIITE.

Nous étudierons d'abord les deux cas d'une tangente simple et d'une tangente double, en discutant tous les cas qui peuvent se présenter.

I® Tangente simple. — Soit y — mj: = o une tangente simple à l'origine, ce point étant d'ordre de mul-

( 'o8) liplicitë p. L*équatioii de la courbe pourra s'écrire

{y — mx) ^(x,y) -h ç^i(a?,>') + (pp+,(a:, j^) -h. . .= o

ou

^^^ ^iHrx{x,y)^ff^(x,y)-^,., •^ ^{x,y)

\{x^y) étant un groupe homogène de degré p — i

^^ ?/>+< (^î^?')' T^+«(^iJ')î ••• ^^^^^ également des groupes homogènes de degrés indiqués par l'indice.

On a donc, en posant — = f ,

La position de la courbe par rapport à sa tangente est donnée par le signe àià y — mx quand x ely tendent vers o et f vers m. .Si 7^+i(i) '7^)7^0, le second membre qui est un polynôme entier en x ordonné sera

du signe de ^ \ — pourx sudfisamment pelit;

y — mx aura également ce signe.

La courbe considérée a donc à l'origine même tangente et même position par rapport à sa tangente que la courbe unicursale

qui est une parabole.

La courbe proposée est d'un même côté par rapport à sa tangente, et du même côté que la courbe auxiliaire, dont l'équation sous forme entière est

{y — mx) ^(1, m) H- x* ?p+i(i, m) = o.

Supposons maintenant que fp^^ (i , /1) = o et que le premier groupe qui ne s'annule pas pour ;r = i , j^ = m soit fp^li^yy)' On met ^ — mx en facteur dans tous .

( "^9 ) les termes qui précèdent ffp^x» Le même raisonnement montre que y — mx est du signe de

^(ly m)

et que la courbe considérée peut être remplacée par la courbe unicursale

On a un coiitacl d'ordre X; inflexion graphique si X est pair, point méplat si X est impair. La courbe auxiliaire est

(jr — mx) 4<(i, m) -h ar^-»-» f p+x(i, m) = o.

Elle s'obtient immédiatement en remplaçant dans chacun des groupes homogènes <{/, fp^^ , • • • de la courbe donnée, y par mx, puis en conservant seulement le terme en ^ — mx suivi du premier terme qui ne s'annule pas identiquement*

Pratiquement, on étudie directement la position par rapport à la courbe dont nous venons d'étudier les propriétés en tirant j^ — mx de l'équation.

On garde au numérateur le coefficient de la plus faible puissance de x] on constate le signe du dénominateur quand t tend vers m; on en déduit le signe de y — mx. On place la courbe dans la région telle (^ue jr -^ mx ait le signe voulu.

Exemple :

Considérons la tangente^ — 2X = o :

— ar*H-5ar*v«-f-... — a?*(n-5/*)-h...

y -i- X '^i{y '^ix)T ir(i-f-^) -+- 3iaf*(2 -i-^)

Quand t tend vers a, j^ — 2^ a le signe de — x*. On en conclul qu'il j a inflexion graphique; du côlë des X positifs, le facteur j^ — ix est positif; il est positif du côté des x négatifs.

Pour l'autre tangente, on a

Sx* — 7.y^x -4-. . .

y — 'IX

Pour^ = — ^, ^ -h j: a le signe de — a:*. Donc la courbe est toujours du même côté de sa tangente (/g^. i).

Fig. I.

2"* Tangente double. — Considérons de même l'équation

(y — mx)* ^p^t{x,y) -h ^p^<^ix,y) -f-. . . = o

a. Supposons d'abord fp+i(i, m)^o, La tangente y — ma: = o rencontre la courbe en ^ ■+■ i points seulement à Torigine, c'est-à-dire en un point de plus seulement qu'une sécante quelconque, et il ne peut y avoir qu'un arc de courbe d'un côté déterminé de la tangente. On a comme précédemment

(j^ — mar)» = —

quand x et y tendent vers o et e = ~ vers m, le second

membre a le signe de — ^--Ï£:î±iLi^ . Les points de la courbe sont places par rapport à la tangente double de la même façon que ceux de la cubique unicursale

il y a rebroussement de première espèce.

Pratiquement, on opère comme précédemment en tirant {y — mxY pour avoir son signe quand x tend vers zéro et — vers m, c'est-à-dire en remplaçant y par mx.

Exemple, — Soit la courbe

(r ■^^)iy — ar)« -+- j^*— 4 x^y — x» = o,

on a

(y — ar)»= - — ^ ^

En remplaçant^ par x, on voit que le signe est celui

de , c'est-à-dire de x; il faut donc que x soit positif

pour que les points de la courbe soient réels; il y a rebroussement de première espèce du côté des x positifs {fig, 2).

Fig. 2.

Remarque, — La méthode s'applique évidemment si m = o, c*est-à-dire si la tangente est Taxe Ox; dans

le cas où m esl infini, pour avoii: la position par rapport à Oy, il suffit de tirer x pour une tangente simple,

x^ pour une tangente double, en remplaçant — par zéro

pour avoir le signe.

Soit

x^{y^x) -h a?*— a^* — ar»= o,

on a

x^ a le signe àe y\ il y a donc rebroussement de première espèce du côté des j^ positifs {fig^ 3).

Fig. 3.

b. Supposons mainlenaut

(pp-Hi(i,/ii) = o et ?/,+î(i,/n)?t^o.

On peut alors poser

?P-Hi {x.y) = (^ — mx) ^p{x,y).

L^équatiou de la courbe proposée devient

{y — mxy'^p^tix.y)

-f- (y — mx) ^p{x,y) -h ^f,^^{x,y) -♦-...= o

OQ

f^4^(x,y) élanl le premier groupe homogène qui suit fp^i{Xij)t ou encore

a' et 0* étant les racines de Téquation

«* ^p-i(^, 0 -+■ « ♦PC»» O ■+■ ?/»+«(', 0 = o

et ayant respectivement pour limites, quand :t: et j^ tendent vers o et f vers m, les racines a' el a" de l'équation

(i) a» 4'p-»(i, m) -f- a 4^p(i, m) -h 9p-Hî(i, m) = o.

Il existe alors des points de la courbe pour lesquels on a identiquement

Par suite, le second membre est du signe de a'x^, qui est celui de clx'^. Donc la parabole

y — nxx = a'x^

a même tangente et est placée par rapport à cette tangente du même côté que Tare de courbe considérée. On peut donc encore remplacer la courbe par le faisceau des deux paraboles

(y — mx — a'x*)(y — ma? — a'a?«) = o,

la position de la courbe par rapport à chacune d'elles

étant donnée par le signe de ^p^ ( i , m) et de ^p 2 (')'«)•

Ann. de Afathémat., 4' série, t. VI. (Mars 1906.) 8

Si al et d! sont réels et de signe contraire, on a un contact double de part et d'autre de la tangente i^fig* 4)*

Fig. 4.

Si al et a" sont réels et de même signe, mais distincts, on a un contact double du même côté de la tangente

{fis- 5).

Fig. 5.

Si al et et sont deux racines imaginaires, on a un point double isolé.

Enfin, si ci! et d! sont deux racines égales, ou a, à la limite,

qui est encore la courbe auxiliaire, ^pJlt4^{}^^) étant la première fonction qui ne s'annule pas pour ^ = m. Si ^ est impair, on a un rebroussement de seconde espèce ;

si q est pair, point double isolé lorsque ^^TJ * x > o

(.,5) et contacl double d^un même côté de la tangente lorsque 'Tf ^ V < o, chaque branche de courbe pouvant être remplacée par Tune des deux courbes explicites

La parabole ^=1= m j: -h ax* sépare les deux branches de courbe, qui lui sont tangentes, Tune intérieurement et Tanlre extérieurement.

La méthode étant ainsi théoriquement justifiée, voici comment on peut opérer dans la pratique. Soit la courbe

on prend tous les termes contenant y — x en facteur^ plus les termes de plus bas degré qui suivent immédiatement

(r — ^)* (r*-^- ^*) — îiCj'— ») (^*-+- «^r) -«-r*-

En remplaçant, dans les coefBcients de ^ — x^ y par x,. et en divisant par x', on a Téquation

qui peut s'écrire en décomposant en carrés

x^ (^ — - ar — 37*)* = o.

La position dea branches de la courbe est donnée par celle des paraboles

( "6) Ou voit que les deux branches sont du côte oixy — x esl positif.

c. Supposons fp^i non idenliquement nul, mais

la premièi*e fonction ne s^annulant pas pour t = m. On a, comme précédemment,

ou, en posant a = !|^^ * ^ > a ayant pour limite

{y — mx — ao;')*

ou

(^ — /nar — aa?*)*

Si a^z^o, c'est-à-dire <j/p(i, m) ^z^ o [en d^autres termes, si m est racine simple de <fp+i{i^ ^)=<>]> '^ second membre est du signe de ct^x*, donc positif; il y a encore deux branches de courbe du même côté de la tangente. La courbe auxiliaire devient

( ^ — ;,i a? - a ar« )« == a« a:* - a?^-^» t^Si^^^iî-^

^ = ma7-t-aa:«±arM/a«-^a:vt^^^f'»'^^ V 4/,,,(i,m)

Si a = o, c^est-à-dire si a est racine double de

7/»+i (i , ï) = o, on aura

H- ^(y — ^^) fiM-i(i, i)-h ...,

et ToQ sera, comme précédemment, ramené à Tétude d'une courbe auxiliaire de la forme

y = m4?-4-aia;»ifc / avec ai= *r^ . r>

et ainsi de suite.

d» Enfin, supposons fp^i identiquement nul, ainsi que f/»^9) • • •» jusqu'à ^p^^i inclusivement. On aura

(jr — mar)* ^,^(x,jr) 4- <p^;.(ar, >^) -h . . . = o.

On obtient immédiatement, comme précédemment, la courbe auxiliaire

en supposant f/i4.r(i) m) ^ o.

Si r est impair, rebroussement de première espèce.

Si r est pair, point double isolé ou deux branches de part et d'autre de la tangente qu'on peut remplacer par les branches de la courbe :

y r= mx ±

e. Si f/r+r(i» "») = o, on a

On est comme précédemment amené à considérer la courbe

^ ariH-a+i ç^^^ai(i, m) = o.

( "8) Si a = r, on peut encore comme plus haut remplacer la courbe proposée par le faisceau de deux courbes unicursales de la forme

(^ — ma: -h a'a?*^* ) (^ "" i^^ "*- «'ar*^* ) = o, et si a > r, par une courbe

(j' — ma? — ax'^^y = a»a?«t/M-i)__ Aa?«<'^»>+f ;

résultats analogues à ceux trouvés précédemment.

Si a<r, soit a = r — h\ l'équation (a) est de la forme

(y — mxy -f- a Aa?*^* ( j^ — mx) -4- Ba?«'^«-^ = o

ou

^ — ma? = — Aar'^iifc /ar*'^«-*(A«arA-- B).

Si A est impair, le radical n'est réel que pour des valeurs de x d'un signe déterminé, il y a rebroussement de première ou de seconde espèce suivant la parité de r.

Si h est pair; deux cas : B>> o point double isolé, et si B<^o deux branches de courbe réelles d'un même côté de la tangente et de part et d'autre de la courbe

y = ma? — Aa?*^*.

Tangentes multiples. — La discussion complète serait trop longue^ les considérations précédentes suffisent pour justifier les procédés pratiques suivants :

On prend tous les termes, à partir de ceux de moindre degré, contenant^ — mx eu facteur; on prend de plus l'ensemble des termes de degré supérieur qui suivent immédiatement, eu laissant de côté tous les autres termes; la courbe ainsi obtenue possède à l'origine, au

( "9) point de vue de la tangente considérée, les mêmes propriétés que la courbe proposée. On remplace j^ p»r ma: dans les coefficients de y — mx et dans les derniers termes conservés. On a ainsi une équation en y — mx dont ou étudie les racines au point de vue de la réalité et du signe, aux environs de l'origine. On en conclut la position des diverses branches de courbe réelles. Nous supposerons d'abord un cas où Téqualion peut s'étudier complètement, par les procédés ordinaires.

Exemple. — Soit la courbe

x'(j^ — af)^{y — 'ix)*'^x*(y — x)-~x*y'^-hiy^^ — ar" = o. Pour étudier la position par rapport à la tangenle

il suffit de conserver les termes

x^(y — x^iy — 'Aa7)*-+- x*(y — or) — ar»^' = o. En remplaçant y par x dans les coefficients, on a

que nous considérons comme une équation du troisième degré en ^ — x*

La condition de réalité des trois racines est

Quand X tend vers zéro cette expression a le signe de X. Donc, du côté des x positifs, il 7 a une seule valeur réelle pour y — X'^ cette valeur esl positive; donc la courbe est du côté y — x > o.

Pour JP <C o et suffisamment petit, on a trois branches réelles; l'équation ayant deux variations, il y a

( '20 ) deux branches telles que y — x soit positif et une branche telle que y — x < o ; il y a donc une branche ordinaire et un rebroussement de première espèce

L'étude de la tangente double (^y — 2j:)^= o rentre dans un cas déjà traité par un exemple. Cherchons les branches tangentes à Oy,

Conservons tous les termes jusqu'à y^^\ on peut

écrire l'équation ainsi réduite, pour faire apparaître —9

L'équation sera nécessairement de la forme binôme, puisqu'il n'y a pas de termes, après le premier, contenant X à une puissance inférieure à trois.

Cette équation se réduit à

x^{v — y^) -h iy^=. o.

On voit que x^ a le signe de — y^ ; il y a donc une seule branche de courbe réelle tangente à Qy du côté des X négatifs.

Cas général. — Soi tune courbe ayant à l'origine un

point inuUipIe, les termes de moindre degré contenant yP en facteur.

Les considérations justifiées précédemment nous permettent, après avoir ordonné l'équation par rapport aux puissances décroissantes de y^ et remplacé, dans

les coefficients, — par zéro, de nous limiter à l'étude

d'une équation de la forme

yP-^ kyP-^ ar« -♦- ByP-^x^ -h ... -h Lyx'-h K a?'» = o.

Pour étudier la réalité des racines lorsque x tend vers zéro, après avoir tenu compte des lacunes possibles, on examine le cas x> o; la transformée en — a: permet ensuite d'étudier de même le cas x <^ o.

On est conduit à substituer à y des valeurs tendant vers zéro en même temps que x, c'est-à-dire de la forme x^, ce qui donne

Pour X suffisamment petit, le signe de cette expression sera celui du coefficient de la plus faible puissance de X. Il suffit de voir quelles valeurs on peut donner à X pour que les résultats des substitutions soient de signes alternés.

Dans la pratique, en s'aidant de l'examen des variations de l'équation, il est aisé d'apercevoir les valeurs utiles de X, comme nous le montrerons sur un exemplt;; dans le cas le plus général, ou peut régler les tâtonnements de la manière suivante :

Prenons deux axés de coordonnées OX, Oz et figurons les droites

^=s/>X, -s = a -+- X(/> — i), ..., ^ = /-hX, z = m, qui représentent les variations des exposants, en mar-

quant sur les droites le signe + ou — suivant le signe du coeflicient correspondant; ces droites ont des coefficients angulaires p^ p — i, ... positifs et décroissants*

On voit aisément, quand \ varie, les régions où Ton peut trouver des signes alternés, et l'on en conclut le nombre de branches réelles. Ces régions soni séparées par les points de rencontre des droites deux à deux.

Pour étudier les branches négatives, toujours du côté des X positifs, on opère de même en substituant — x^.

Exemple :

y^{y — ^Y-^ 2j^' {y -^ ^)* -^y^'^ -4- a?*^ = o. On est amené à étudier l'équation «

y'^ x^ H- 'xy'^ X* H- yx^ -f- a?>o =a o,

yk 4 lytx^ -h yX* -\- X^ = o.

Pour jr > o, on a au plus deux racines réelles et négatives, comme Tindiquent la lacune et le nombre des variations. La substitution y=^o donne le signe de x^ qui est positif. Substituons — j?^,

Construisons les droites

4 = 4X, z = 3h-2X, 5=X-4-5, 3 = 8, et marquons sur ces droites les signes des coefficients

{fie- 7)-

Pour que les deux branches possibles soient réelles, il faut que x^~^' donne son signe; il suflit pour cela de prendre \ entre a et &, le z de la droite marquée du signe — sera le plus petit.

On voit ainsi que X est compris entre 2 et 3; la

( '23) courbe^ = — x^ sépare les deux branches réelles de la courbe du c6té des j négatifs.

Pour a:<^o, formons la transformée en — x

y\ __ *iy\x^ — yx^ -*- a7» = O.

Il peut j avoir deux branches réelles positives j" ss o donne le signe +.

if

Substituons y = j?^,

et construisons

En changeant le signe de la deuxième droite sur la figure précédente, on voit quMl sufBt de prendre

pour avoir un insultât de subslilulîoii négatif. Il y a donc deux branches positives réelles séparées par y = x^^ par exemple.

Pour étudier les racines négatives, substituons

on a le signe négatif pour

Donc les deux branches négatives sont réelles.

On voit aisément que le procédé est général. En construisant exactement les droites z = aX + & on peut, sans calculer les valeurs de X, voir s'il est possible de trouver une ordonnée rencontrant ces droites en des points correspondant aux signes cherchés. La méthode est la même pour étudier le nombre des branches réelles et leur position par rapport à une tangente multiple y — mx = o. {A suwre.)

[L'ie]