CP

hP'-

QP PC CP'

PR = 7P=Ôr' ''**"

et, par suili',

OP (OfiPP')-^,:

Le rapport anharmonique des quatre points OijlPF est donc constant et, par suite, les points P et P décrivent deux lignes liomologiques, ce qui justiGe la définition de perspective donnée par M. Casey. On sait, en efiet, que, quand deux figures sont homologiques, il suffit de faire tourner le plan de Tune d'elles d'un angle quelconque autour de Taxe d'homologie pour que les deux figures soient en perspective.

On voit d'ailleurs que la construction dont nous nous occupons n'est autre que celle qui donne rhomologue P' d'un point P, connaissant le point I dont Thomologue est à Tinfini sur OX* Elle se déduit, en outre, immé* diateinent de la construction de la Hire (Aperçu historique, p. ia8); car il est évident que les deux droites OR et QP sont parallèles, les points Q et R étant respectivement sur les droites BB' et IF.

I. Théorèm£. — Tout cercle peut se projeter sui^ vant une courbe telle que le rapport des distances d*un quelconque de ses points à un point ^fixe et à une droite fixe soit constant.

C'est un théorème bien connu de (a théorie des figures homologiques. Sa démonstration se fait en prenant pour origine le centre F du cercle et pour droite de base la tangente eu B à la circonférence. On en conclut que, m étant la projection de M, on a

nir Br — -j -ssrT

^j^ = BK ~ ^^"*^* *^*^^ BK = — FI,

( «^7 ) mF ëunt la dislance de m « la ligne de faite KK'. Le point F esl le foyer, et la ligne de fuite la directrice.

Proposons-nous de construire la tangente à la conique en m ; soit T le point d'intersection de la ligne de fuite et de la parallèle menée par F à la tangente au cercle en M; les perspectives de deux droites parallèles se coupant sur la ligne de fuite KK', mT est la tangente

en m ; on voit que mFT est droit.

Théoeème inverse. — On peut projeter une conique suwant un cercle.

Il suffit de prendre pour origine le foyer F de la conique et, pour droite IF ou droite limite, la directrice correspondante .

Théorème. — La projection d'un cercle qid rlest pas tangent à la droite \V est une courbe telle que la somme ou la différence des distances de l'un quelconque de ses points à deux pointe fixes {foyers) est constante (fig. i).

Fig. I.

£n effet, prenons pour origine le centre F, la droite IF ue rencontrant pas le cercle, et pour base BW la tangente au cercle parallèle à II'. Soient m, ra, E les points

d'intersection avec la circonférence et avec la base d*une sécante passant par I, qui se projette suivant une parallèle à FI passant par E et rencontrant la courbe de projection en deux points M et J\, respectivemeot situés sur Fm et F/i.

Si L désigne le point de rencontre de mn avec la polaire del, on a

F(/n/iIL)= — I.

Donc FL coupe MN en son milieu S. Or

FS lE

^ = jj- = const.

Le lieu de S est donc une perpendiculaire à FI rencontrant cette droite en un point fixe O; c^est un axe de symétrie pour le lieu des points M et N.

On a d'ailleurs

MF JTE NF lE

/nF ~ Im ^^ nF^lq'

d'où, par addition,

MF-hNF mF

et, par suite,

\I/n 1/1/ IL

MFH-NF=const.

Or, par raison de symétrie, NF est égale à la distance

du point M au symétrique F' de F par rapport à O; on

a donc

MF^-MF'=const.,

ce qui démontre la proposition.

Dans le cas où la droite 11' coupe le cercle, on démontre d'une façon identique que

MF— MF'= const.

( ^^9 ) De ce qui précède, on peut donc conclure que la perspective d*un ctTcle peut être une ellipse, une hyperbole ou uue parabole, ces trois courbes ayant la propriété commune d^être le lieu des points dont le rapport des distances à un point fixe (foyer) et à une droite fixe (directrice) est constant.'

II. Soit à trouver les points d'intersection d'une droite et d'une conique à centre donné par un foyer F, la directrice correspondante IF et un point C. Projetons la conique suivant un cercle, en prenant pour origine F et pour base la perpendiculaire BB' à FI menée par C et soient D et E les points d'intersection de la droite donnée avec IF et BB'; la parallèle menée par E à FD rencontre le cercle en deux points m et n qui sont les projections des points M et N cherchés, points situés respectivement sur F m et F/i (Jig» a).

III. Considérons plus particulièrement le cas de Thyperbole et de ses asymptotes. C'est un théorème bien connu, qui peut même servir de définition à Thyperbole, qu'une tangente à cette courbe forme avec les asymptotes un triangle d'aire constante, le point de con-

Ann, de Afathémat., 4* série, t. VI. ( Mars igoS.) 9

( '30 ) tact étant le milieu du segment intercepté sur la tangenle par les asymptotes. Pour le démontrer, projetons un cercle {fi g- 3) en prenant pour origine son centre F,

Fig.

ri^

/ yC

pour base la tangente 6B' en un point B et pour droite II' une parallèle à BB' coupant le cercle en deux points D et D'^ h^s tangentes en D et D' à la circonférence coupent la base respertivemeiit en C et C ; la projection du cercle est une hyperbole ayant pour asymptotes les droites OC et OC perpendiculaires, la première sur CD, la seconde sur CD'; la tangente en un point m du cercle rencontre respectivement les droites II' eu P, CD en r, BB' en Q, CD' en /*', et se projette suivant une parallèle menée par Q à FP et rencontrant respectivement les droites OC et Fr en R, F m en M, OC

( «3. ) et F/'' cil R'. La proposition sera démontrée, si Ton fait voir que les triangles ROR' et COC sont équivalents et que M est le milieu de RR'. La première partie résulte de ce que CR' et C'R sont parallèles ou que Cr' et Cr se coupent sur la droite II'. En eiFet, soient y le point d'intersection de Bm et de 11', a le point d'intersection de BD et de miy, p le point d'intersection de Biy et de /nD; ay est la polaire de p, elle se confond donc avec C'r; de même Py est la polaire de a, elle se confond donc avec Cr'. Donc C/*' et C'r se coupent en y sur 11'. La seconde partie résulte immédiatement de ce que les quatre points P, /•, m^ r' forment une division harmoni(|ue. En effet, soit P' le conjugué harmonique de P par rapport à DD', la droite qui joint F au pôle H de Diy est la polaire de P par rapport au cercle et aux deux tangentes^ elle passe donc par m.

La proposition est donc établie; on peut démontrer, d*une manière analogue, qu'une transversale rencontre la courbe et les asymptotes en deux couples de points ayant le même milieu. En effet, soit une sécante rencontrant respectivement {Jig- 4) H' «ïi P» CD en r, la circonférence en m et n, la base tangente au cercle en un point Q, CD' en /•' et se projetant suivant une droite coupant OC et Fr en R, Fm en M, F/i en N, la base en Q, OC et F/-' en R' et de plus parallèle à FP. 11 suflfit de montrer que le rayon FP a même conjugué harmonique par rapport à Fr et Fr' d'une part, à Fm elF/i de l'autre, ou que P a même conjugué par rapport aux deux couples de points r, /'' et Ai, n. En effet, soit P Je conjugué de P par rapport à DD' ; H étant le pôle de DD', P'H est la polaire de P par rapport au cercle et par rapport aux deux tangentes à la circonférence eu D et ly.

( i32 ) IV. Considérons maintenanl le cas de la parabole, c'est-à-dîre le cas où la droite IF est tangente au rercle à projeter et prenons pour base BIV la tangente parallèle à ir. La tangente en un point m du cercle rencontre la base en D et la droite IF en C et se projette suivant

Fig. 4.

la parallèle menée par D à FC, le point de contact M se trouvant sur F m. Or

DMF

= î{ÎFb = 6FI

DFC =

Donc, dans la parabole, la tangente fait des angles égaux avec le rayon vecleur du point de contact et la parallèle à Taxe menée par ce |)oiiit, et la projection du foyer sur la tangente est sur la tangente au sommet.

Soient CD et CD' deux tangentes parallèles au cercle en des points m et m!\ leurs projections, respectivement parallèles à FC et FG\ et par suite rectangulaires, se coupent sur la ligne de fuite, en d'autres termes sur la directrice et par suite le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la parabole est la directrice.

Cherchons enfin les points d'iutersection d'une droite L et d'une parabole. Projetons la parabole suivant un cercle en prenant pour origine le fojer F, pour base BB' la tangente au sommet B et pour droite IV la directrice; la droite L rencontie la directrice en C, la tangente au sommet en D; sa projection, menée par D, parallèle à FC, rencontre le cercle de projection, décrit de F comme centre avec FB comme rayon, aux points m et n, projections des points iVI ei N cherchés et situés respectivement sur les rayons F m et F /i.

Comme conséquence de cette construction, remarquons que la bissectrice de l'angle MFN est perpendiculaire sur mn et que, par suite, FC est bissectrice de l'angle ibrmé par FM et FN' prolongement de FN. On a donc ce théorème bien connu, que la construction analogue, donnée précédemment, permet d'énoncer pour une conique quelconque :

Théorème. — Soient M, N deux points i/uelconques d^une conique; la droite FC qui joint un foyer F de cette conique au point C de rencontre de la sécante MN^ avec la directrice qui correspond au foyer F, est bissectrice de Vun des angles formés par les droites FM, FN.

On pourrait obtenir une autre construction des points d'intersection d'une parabole et d'une droite en projetant le cercle, au lieu de la parabole, et retrouver ainsi une construction donnée par M. Ernest Lebon dans les

( i34 ) Nouvelles Annales de Mathématiques (i885, p. 338). Soient, en effet, un cercle de centre F, BB' et II' deux tangentes aux extrémités du diamètre BI, M et N les points d'intersection avec une sécante qui coupe la base en G et la droite II' en D-, la sécante se projette suivant une droite L passant par C et parallèle à FD; le cer<*le, suivant une parabole ayant pour foyer F et pour tangente au sommet BB', les points M et N ont pour projections les points m et n d'intersection de la droite L et de la parabole. D'où la construction. M. Lebou remarque, avec raison, qu'elle est plus simple que celle que l'on donne habituellement. Les considérations qui précèdent permettent d'ail Içurs d'établir, avec la môme facilité, la construction que, dans le même article, M. Lebon a donnée des points d'intersection d'une droite et d'une conique dont on connaît un foyer et les sommets situés sur l'axe focal.

Soient, en effet, F un foyer d'une conique, B et I les sommets de l'axe focal, BB' et IF les tangentes aux sommets, la première étant la base et la seconde la droite dont la projection passe à Tiniini, la conique se projetant suivant une parabole ayant pour foyer F et pour tangente au sommet BB'. Une droite CD rencontrant II' en C et BIV en D se projette suivant une droite DG, coupant II' en G, dont les points de rencontre avec la parabole, w! et n', s'obtiennent par la construction donnée précédemment, c'est-à-dire en joignant le point d'intersection E de CF et de la droite HH' symétrique de BB' par rapport à F au point D, en prenant les points d 'intersection m et n de DE avec le cercle de centre F et de rayon FB, puis les points d'intersection m' et n' de DG avec les rayons F m et F/i. On en déduit immédiatement les points d'intersection M et N de la droite et de )a conique données, qui se trouvent sur la

( i35) droite CD et les rayons F/n et F/i respectîvement. C'est la construction même que M. Lebon a obtenue, d'une manière toute différente. Ou remarquera que la ligne DG est inutile pour la construction.

iV. B, — On voudra bien observer que la construction, donnée au paragraphe IV, des points d'interseï*tion d'une droite et d'une parabole s'applique, sans modification, au cas d'une conique quelconque. La démonstration élémentarre de la construction est d'ailleurs immédiate. C'est, d'autre part, un cas particulier de celle du paragraphe II.

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