SUR UNE INÉGALITÉ DE I. HADAIARD
Par m. landau.
Dans un travail récent Sur les séries de la forme VauC^»*, publié dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (4* série, t. IV, 1904, p. 029-533), M. Hadamard a développé quelques inégalités, qui, suivant son expression, a peuvent avoir leur utilité ». Je vais confirmer, dans les pages suivantes, cette attente de M. Hadamard, en en faisant une petite application à la théorie de la fonction ^{z) de Rieinann. En combinant les anciennes méthodes avec une de ses nouvelles relations, je parviendrai à prouver le théorème suivant :
Il existe une constante positive ol telle que, pour tous les 7 > o,
( '36) En d'autres termes, la limite iiiféneure d'indétermination, pour 9 =00, du produit
log«y|Ç(i-+-grO|
est supérieure h o.
Jusqu'ici, ou ne connaissait (|ue T inégalité un peu moins précise
lim inf. log^q \ ;(i -\-qi)\>o,
démontrée par moi, comme proposition auxiliaire, par exemple dans mon travail JYeuer Bewais des Primzahlsatzes und Beweis des Primidealsatzes [ Mathematische Annalen, t. LVI, ipoS, p. 654, formule (19)]. Je commence par refaire, dans un cas spécial, un raisonnemenl général de M. Hadaiiiard. Soit
une série de Diri(;hlet, dont les coefficients an sont tous ^ o et (jui converge pour R (2) > i . Soiciil e ^ o, q réel ; on aura
R F(i -+- e -h yO = 2 ^ cos(y log/i),
et pareillement
RF(i-+-e-+-ayO = ^1 -^cos(2^ log/i).
Donc, en posant
/ F(i-he) =Ro,
RF(i4-e-h^t) =R„
( RF( 1-4- 6-4-2^0 = R,,
= 2 ^ (cosMçlogn) - ^C08(y log/i) + ^)
Jl=l
2 2 no nj 2 2 t\o
C'est l'inégal i lé (3) du Mémoire de M. Hadamard, poulie cas spécial qui iirintéresse; elle donne
RÎ^-Ro(Ro-4-R«),
Riè-y/^Ro(Ro-HR,).
Je rappelle en outre les propositions connues (voir p. 649> 65 1 et 653 de mon Mémoire cité) :
(3) logai-t-e)<i-Hlog-
(4) K(l-H6-h2yt)l<2l0gy
(5) |;'(i-heH- qi)\<6\og^q
pour o<eli, pour ole^i, çr^io.
Je pose maintenant, pour R(2)^ i,
OÙ p pai'couri les nombres premiers; c'esl une série
2 an
OÙ art= — pour n =/>'* el a„=: o pour les n qui ne sont pas des puissances de nombres premiers. Tous les On étant ^o, on peut appliquer l'inégalité (2), en posant, d'après (i),
Ro= logÇCiH-e),
R, = R log Ç(i -h e -+- qi) = log | Ç(i 4- e 4- y* ) |,
R,= Rlogî;(i-he-f-îyt) = log|î;(i4- t-h^qi)\.
On obtient, pour e > o, 9 1 o,
log|C{n-e-f.yOI
§-^ï««gî(' + 0(logUi-^0^-iogK(i-+-e-h2yi)|),
d*où, en venu de (3) et (4), pour o <;e^i, 17^10,
iogK(i-+-6-i-^0l
(6) I an- « + gi) 1 1 ., ^ ' ,
D'autre pari, pour o<;6^i, 9 = 10, (5) donne
donc, en appliquant (6),
dz
<6Rlog«y,
I Î:(i -t- yO I = I C(i -+- e 4- sri ) — (;(r -h 6 -h ^O - Ç(i -f- gri)) |
^i^l 4- lof i ) ( 1 -H lOf i + log lo« 7 j
— 6e log>gr.
( '39) Pour tout ^^10, je fais maintenant
ce qui satisfait évidemment aux conditions o<Ce = i- J'obtiens, en vertu de (7),
K(i-HyOI>
^j(lH-»loflo»ç)(IH-flo»lo»</) « log 9
(8) iog«yK(«4-yO|> '^g'f ^4ô'
•y/(^-»-lo»lo»<yj(^-»-lo»lof7) «
Or, en posant log log^ = J^7 lim '"gg = lim ''
Le second membre de (8) tend doAc, pour çr =00, vers la limite positive
p = («"*•) — 6«-»o = «" • — 6«-«o= g-io(e"» — 6/. Donc, pour tous les q suffisamment grands (y ^^o))
(9) (1 -H log«^) I Ç(i -*- qi) I > log»y I î(i -h yO I > ê;
d'autre part, ^(2) étant différent de o pour R(z) = 1, le premier membre de (9) est, pour o <^ ^ <^ y©» supérieur à une constante positive; il existe donc une constante positive a telle qu'on ait, pour tous les q >> <>,
(i-hlog«^)|î:(i -+-yOi>a, ce quMl fallait démontrer.
En venu de Tidenlité on a, pour tous les 9^0,
"^(-^^*)|>.+io6.|gr
Dans tous ces développements, je ne me suis appuyé que sur les propriétés les plus élémentaires de la fonction ^{z). Je ne me suis pas servi du théorème important de M. Hadamard (publié en 1893) sur l'existence et la densité des racines imaginaires de s(^)y ^^i même du l'ait, découvert déjà par Rieniann, que la fonction ^{z) existe dans tout le plan.
CERTIFICATS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
' Poitiers.
Épreuve écrite. — I. Former l'équation différentielle des lignes géodésiques d'une surface de révolution définie par les relations
:r=rco56, ^ = rsin0, z = cp(r) et montrer que l'intégration se ramène aux quadratures,
IL Une courbe plane G est rapportée à deux axes rec-
tangulaires Oz et Ox; un point quelconque M de cette courbe étant projeté en Q sur Vaxe 0-5, le point Q se pro"
jette en P sur la tangente en M, et Von a
P]Vl = a;
déterminer la courbe.
III. Trousser les projections sur un plan perpendiculaire à l'axe de révolution des lignes géodésiques de la surface engendrée par la courbe G, tournant autour de Oz.
Épreuve pratique. — I. On demande les conditions pour que Vintégrale
ait une valeur déterminée.
