HM

Lorsque M décrit la surface .711/, le lieu du point K est une sur/ace DC homothêtique à la surface tf\L pour le centre d'homothétie H et le rapport -; la surface qui s'introduit ainsi joue pour le tétraèdre un rôle comparable à c fi lui du cercle des neuf points pour le triangle. Si A*^, B'', C", D'' sont les points situés aux f des segments HA, JHB, HC, HD, cette surface ÙC est le lieu des points dont les projections sur les plans des faces du tétraèdre A'^B^'Ciy sont coplanaires. C'est une surface du troisième ordre ayant pour points doubles les points A", B^', C^ W.

6. J'indique pour le point M, relativement au tétraèdre ABCD, une construction que nous aurons l'occasion d'appliquer pour le point K, relativement au tétraèdre Èi"WC"ïy, La longueur KH étant double de MK, si Ton prolonge d'une longueur double de leur propre longueur les perpendiculaires abaissées de M sur les plans des faces du tétraèdre {fig* 2, pour le plan BCD), on obtient quatre points IVIf, iVla, Ma, M4 situés dans un même plan S parallèle au plan II des projections et passant par H.

Le plan 2 étant donné, on retrouve facilement le point M. Soient 1, 2, 3, 4 IcvS droites suivant lesquelles le plan 2 coupe les plans des faces du tétraèdre ; soient H4, H3, Hs, H4 les points obtenus eu abaissant de H des perpendiculaires sur les plans des faces et en les prolongeant de la moitié de leur longueur; le plan mené par la droite i et le point H|, et les trois plans analogues, ont en commun le point M.

( «5o ) 7. Théorème. — Soit un tétraèdre orthocentrique ABCD, et soient A', B', C, D' les centres de grauité des faces. On projette un point S en a, b^ c^ d

Fig. a.

sur les plans des faces; si l'on désigne par a, p, y, 8 lesJldroites d'intersection des plans des faces correspondantes des deux tétraèdres A'B'C'D' et abcd^ les quatre plans (a^ai)^ (^7 P)i (^> ï) ^^ (^î 2) ont un point commun K (*).

Appelons H' le point de rencontre des perpendicu-

(*) Ce fait rentre dans un ihéorcnie général qui est Textension à l'espace du théorème plan donné par M. Bricard (note précédente) :

Étant donnés deuw tétraèdres ABCD, A'B'C'D', si les droites A A', B B', CC, DD' rencontrent respectivement les plans a, 6, c, d des faces du premier tétraèdre en quatre points situés dans un même plan, les droites (a, a'), (6, 6'), ... déterminent avec les sommets A', B', C, D' du second tétraèdre quatre plans qui ont un point commun.

Pour le théorème du texte, les deux tétraèdres sont le tétraèdre A'B'G'P' et le tétraèdre pédal,

( '5. ) laîres aux plans des faces menées par leurs centres de gravité, ou l' orthocentre du tétraèdre A'B'C'iy : site point S se déplace sur une droite o- passant par le point H', le point K reste fixe; les points Pi!\ W\ C, tf étant les points des segments HA, HB, HC, HD qui véiifient les relations