Celte équation est de la forme dx ^ dy

X et Y étant deux polynômes en a; et y du troisième

degré. Par chaque point du plan des xy passe une

intégrale kolomorphe et une seule. Il ne peut y avoir

exception que pour les points de rencontre des deux

courbes

ces points ont pour coordonnées :

Pour n'avoir pas de branches infinies nous projetterons le plan des xy sur une splière tangente à ce plan au point x = o, j^= o, le centre de la sphère étant le centre de projection.

Pour étudier la forme des courbes intégrales dans le voisinage d'un point singulier, il suftit de transporter Torigine des coordonnées en ce point et d'a|)pliquer le. théorème suivant {^) •

(») Cf. Picard, Traité d* Analyse, l. III.

( '96) Soient

X = ax ■+- by 4- . . .,

Y = a! X -\- b'y -^ ..., )h et Xj les deux racines de V équation

Si \k et\*i sont réels :

c-î- > o, le point est un nœud, r-^ < o ; le point est un col.

Si )m et X2 sont imaginaires :

?~ imaginaire : le point est un foyer, Aï

Xi __ [le point est généralement un foyer,

Xi "" ( quelquefois un centre.

Le cas où le point singulier considéré serait un centre est un cas très particulier, dans lequel une certaine infinité de coefficients qu'il faudrait calculer pour trouver une série convergente F(a;, y) ordonnée suivant les puissances croissantes de ^7 et de j'^ satisfaisant à l'équation

dx oy

seraient tous nuls. INous verrons d'ailleurs que, dans le cas actuel, cette circonstance ne peut se présenter.

L'application de ce théorème ne présente aucune difficulté pour les points IN, C, N', C et A; elle fournit les résultats suivants :

PourN ^

ri ^t

nœud

col

nœud

col

nœud

col

Pour le point A, X| 61^2 sont les racines de Téquation

X* — c toX — (1)' ( c* — I ) = o ;

donc

foyer,

< c < 1, nœud,

col.

Comme co) est toujours ditFérent de zéro, on ne peut jamais avoir de centre.

Pour les points v, V, y et y', Tapplication du théorème invoqué ne peut pas être immédiate, car chacun de ces points est un point double pour Tune ou Tautre des courbes X = o, Y=o. Pour ramener ce cas au précédent, il suffit de déformer légèrement une des branches de la courbe qui admet le point étudié comme point double et de voir ce qui se passe à la limite.

Pour étudier les points y et y', nous remplacerons donc l'hyperbole

2 xy — O) a? -H cy — c cd = o

par rhjperbole

i(x -\- aLy)y — wa^-hcj^ — cu) = o,