étant une quantité très pelile que nous ferons tendre

( >98) vers zéro. Cette hyperbole coupe le grand cercle x == i au point

qui tend vers Téquateui' quand a tend vers zéro. Porloias Torigine eh ce point

X =z X -hl,

rëqualioti devieiii dx'

c-f-2-4-/(c-i-'2)«-h8ai(c-+-i)a ,

•lOL

ax'-^-

c-+-2-h\/ (c-h2-hv/ )* c->^i-\-\/

2a Sa 4a

Les termes en dehors des radicaux sont du secqnd degré au moins; il est inutile de calculer le coefficient de a/; les deux racines de Téquation en \ sont, en effet,

c ^- 2 H- /( c -h 2 )* -h 8 oi ( c -+- I ) a

. 3[c-i-2-h v/(c-+-2)»-4-8(u(cH-i)a]'

: (c j 2 — 2a)a) — od(2C-+-3).

Mettons le radical sous la forme

(r-h2)4/i-+-8co '■ a=:cH-aH-4<»>

( '99 ) Nous obtenons pour X, et "k^ :

X, = l±-2+A-t-Ba

X,= i£±ii)! + A'+B'«+..

Pour les valeurs li*ès petites de a, le rapport ^ ^^^ li'ès voisin de

<*i; qui correspond à un col.

Il faut voir maintenant quelle est la nature du point -de rencontre, voisin de Téquateur pour les petites valeurs de a, de Thyperbole

avec le grand cercle x = — i. Ce point a pour coor- •données

Un calcul tout à Tait semblable au précédent fournit les valeurs suivantes de X| et X2 :

Xi= ~ -h Al -h Bja -h.. ., ce

X,= (£Zl^VA', + B',a+...,

ce qui correspond

si c < 2 à un col; si c > 2 à un nœud.

Il résulte de là que

les points y et y' sont la superposition

SI c < 2 ^ 1 J I

de deux cols;

[ ces points sont la superposition d'un I col et d'un nœud.

Dans le premier cas, les seules intégrales passant par les points y et ^ sont l'équateur (limite commune de deux des intégrales passant par les cols composants) et les deux grands cercles x = — i , a: = -h i .

Dans le second , il passe par les points y et Y une infinité d'intégrales (* ).

En ce qui concerne les points v et v', nous pouvons remarquer que leur étude n'est pas nécessaire au problème posé, car le champ qui intéresse ce problème est celui qui est compris entre les grands cercles a: = ±: i . Toutefois, la même méthode que ci-dessus montre que les points v et v' sont toujours des noeuds.

3. Examinons maintenant comment les caractéristiques ou courbes intégrales aboutissent aux nœuds.

En portant l'origine au nœud N', par exemple, l'équation devient

dx' ^ dy' ^ dv

On sait qu'il existe des développements de x' et de y*^ suivant les puissances croissantes de cs/^ et de C\ v respectivement, convergents dans un certain intervalle;.

soient

ar' = et;' -h . . . ,

(*) La méthode qui vient d'être employée est évidemment générale. En fait, pour les points y et y', on arrive plus rapidement au

résultat en faisant la transformation :r = j7'd=i,y= — ; ce procédé

direct réussit ici parce qu'on peut séparer les deux branches de la courbe X = o qui passent par le point étudié.

ces développements. Il en résulte que toutes les caractéristiques sont tangentes au grand cercle x=^ — i , qui est lui-même une caractéristique. Une seule fait exception, c'est le grand cercle

Il en est de même pour les caractéristiques qui aboutissent au nœud N sur le grand cercle x = i .

Quand c est compris entre i et a, le point d est un nœud. Posons

l'équation devient