MD = MD
La relation (i)' devient alors
MK ptang(BMF) Abaissons la perpendiculaire Kl sur MF, on a MK = MItang(BMF),
par suite,
1 I Mï " p'
Lst centre 4e CQU^bw^e de la conique est donc le milieu Cl) de Ml.
On voit que la construction de co est réduite à ceci . Oq mène ]a droite CL. Du point où elle coupe la tangente MB on abaisse sur MF la perpendiculaire Kl, le milieu o> de MI est le centre de courbure cherché.
On peut remarquer qu'on peut inversement prendre C> a6n d'obtenir uu centre de courbure que Ton se 4oime.
Semavquoiis eocoie que la coiiftruction a« dépend paa de la position de9 poinU F, F' sur les droites MF, MF'. Pour chacune des poisiliona de la droite FF', qui tourne autour de N, on a une conique comme préoé-* demmei^t et toutes ces coniques ont en M ua contact du second ordre. *
Enfin, si le point C est le centre de courbure de Vellipse donnée, il est sur la perpendiculaire élevée de L à MF, le point K appartenant à cette perpendiculaire, on voit que le point I se confond avec le centre de courbure de l'ellipae donnée. Le centre de courbure 0) est alors au milieu du rayon de courbure de l'ellipse donnée. On peut donc énoncer cette propriété :
On a une ellipse de foyers F, F' et dont le rayon de courbure pour son point M est M|jl : /a conique tangente e/i M à Vellipse, et qui passe par F, F', [x, a pour centre de courbure le milieu é/e M|x.
Arrivons maintenant à ce problème :
Construire le rayon de courbure en un point d'une conique, connaissant la tangente en ce point et trois /tutres tangentes.
( ^3a ) Nous ne le traiterons ici qu'avec des données parliculières. Démontrons d'abord ce lemme :
On donne une ellipse de foyers F, F' {fig- 2) ; si une conique touche cette courbe en M et passe par F, F', ses tangentes en ces points se coupent sur la normale en M à l'ellipse donnée.
Appelons T le point où la tangente en M à Tellipse coupe l'axe focal. La polaire de ce point, par rapport à une conique qui passe par F, F' et est tangente en M à l'ellipse, est la normale MN, puisque N est conjuguée harmonique de T par rapport à F el F' et que cette droite passe par M.
Il résulte de là que les tangentes à cette conique aux* points F, F' se coupent sur MN.
Dans le cas général où les données pour une conique sont {/ig* 3) le point a, la tangente en ce point et les
Fig. 3.
tangentes B, C, D, on a pour déterminer Te rayon de courbure de cette courbe la relation suivante ( ') :
ab a^"^r\tangp tangy/
(') Comptes rendus, séance du i5 mars 1875.
Prenons maintenant des données particulières.
Supposons qu'en outre de la tangente en M {fig. 2) les trois tangentes données soient BF, FC, CD. La relation (2) devient
MB MD rtang(BMF)
Mais le premier membre de cette égalité, ainsi qu'on Ta vu précédemment, est égal à -rr^^ alors
MK = rtang(BMF).
Donc le point 1 est le centre de courbure demandé.
On voit que, pour un point arbitraire C de la normale en M, il suffit de mener CL qui détermine K sur MB et d'abaisser de ce point la perpendiculaire Kl sur MF : le point 1 est le centre de courbure demandé.
Dans le cas particulier où C est le centre de courbure de l'ellipse donnée pour le point M, il est sur la perpendiculaire élevée de F à FM et il en résulte que I coïncide avec G; donc : la conique, tangente en M à l'ellipse donnée, qui est tangente en F et F', aux droites qui vont de ces points au centre de courbure c de V ellipse, a un contact du second ordre avec cette courbe (*).
Pour terminer, voici une autre construction du point (1). On mène MP parallèlement à F'C, puis PQ parallèlement à CM : La perpendiculaire Qto à MF détermine co sur MC.
(*) Voir KoBHLER, Exercices de Géométrie analytique et de Géométrie supérieure, !'• Partie, p. ^58.
[BIOj^]
SUR LES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES QUI LAISSENT UNE FORME QUADRATIQUE INVARIANTE ;
Par m. h. LAURENT.
On a donné bien des moyens pour trouver les substitutions qui traBsformenl une forme (juadratique en elle-même ou qui laissent cette forme invariante. Je crois que la solution que je vais indiquer aura le mérite de la simplicité lorsquHl s'agira d'applications. Soient aij des conatantes et â?i , «s, ... , ie» les variables,
aiy Xi w^j
une forme à n variables. On peut exprimer U condition d'invariance au moyen de la formule
ou
y\i *"^yn désignant de nouvelles variables ; ou , en mettant les carrés en évidence,
Sous le second signe y], i et j seront alors différents et l'on aura
2 au iyi— Xi)(yi -»- xt)
( a35 ) ce qui revieni à
ou, si l'on désigne par// la demi-dérivée de /relative à Xi :
< " ) 2 ^•^'"" ^'^•^' (^i -^ri' ^«-♦-riï •••) = o.
Adjoignons à celle équation les suivantes, où les c/y sont indépendants des x et des j/- :
nou9 supposerons que les n équations (2) se réduisent à/i — 2 distinctes, le système (i), (2) déterminera alors les yi — xt en fonction des yt + Xi au moyen d'équations de la forme
( ri — ^1 =^ll/lH-^u/«-^-...-+-^l/i/n7 \ yn'—^n'=* ^nl/t-4» Ar^i/î-H. ..-+- knnfn^
les Ariy* désignant des quantités indépendantes des of et des^; quanta /il est mis pour abréger à la place de fi{x^ H-^o ^2+^21 • • • )> d'ailleurs il faudra supposer
kti—o, kij-^kji—o.
Vérifions que les équations (3) représentent bien les substitutions laissant / invariante. A cet effet multiplions la première formule (3) par/, la seconde par /s..., la dernière par/^, et ajoutons; nous aurons
( 236 ) équation qui en vertu de ( i ) est équivalente à
2 aijXiXj= ^ atjytyj.
En particulier, si /z=Jlx^j les formules (3) deviennent
y\ — xi = kxiiyi-^ xi) -h . . ,-h kiniyn-^ Xn)f
et définissent une substitution orthogonale de déterminant -\- I.
Les formules (3) qui renferment— ^^ ^paramètres A"//
ont cela de remarquable que les y s'expriment en fonction des x sous forme rationnelle, en sorte que, si les nombres kij sont rationnels, les coefficients de ta substitution seront des fonctions rationnelles des a/y à coefficients rationnels.
Interprétons géométriquement les résultats qui précèdent : /= o représente une surface dans l'espace à n dimensions, cette surface est un cône. La substitution (3) laisse ce cône invariant, mais elle laisse encore invariantes n droites.
Posons, en effet,
n = sxt ;
les équations (3) deviennent
Xi = Xifi{ku, ...,A-i«)-i-:ri/2(A:,, ,...,A:i«)-
Xi=Xi/i(kii,..., kfn)-^Xxf2(ku^ ..., Ai„)H- ...,
( 237 ) Télimination des x fournit une équation du degré n en s, à chaque racine de cette équation correspondent des valeurs des x^ que la substitution (3) multiplie simplement par 5, et les valeurs des n définissent une droite passant parTorigine, droite qui reste invariante, quoique ses points ne soient pas invariants.
Il ne sera peut-être pas inutile de faire observer que les substitutions (3) que nous avons trouvées ont pour déterminant + I9 car, pour
A-Il = kxt^^' . . = o, on a
Il ne serait pas difficile de se procurer des substitutions du déterminant — i en changeant quelques signes dans les formules (3).
