DÉMONS! RATION DE LA FORMULE

/ e— •»■' dx = /îr ; Par m. E. GUITTON.

Je vais montrer que cette intégrale définie est la limite vers laquelle tend

quand m augmente indéfiniment par valeurs entières. Prouvons d'abord que J^ a pour limite ^tï.

( îi38 ) Le changement de vamble jt &t= m sin ^ donne

on est ainsi conduit à considérer

Ip = I co«f «p d^

(c'est ce qu'on fait quand on démontre la formule de Wallis).

On voit facilement que :

1^* I^ diminue quand/} augmente;

Ceci permet de calculer 1^ en remarquant que I , ^ a , 1q =11; ensuite de conclure que

II ~

lim |— ^ = I,

et finalement

lim/7l| = air.

Il reste pour achever à remplacer/? par 2/n^4- i.

Pappelte A l'intégrale proposée, e étant un nombre posilif aussi petit qu'on veut, il faut montrer que, à partir d'une certaine valeur de m, la différence entre A et J,,! est inférieure à e.

Il existe un nombre positif a tel que

/■4-rt

(a39) je vais faire grandir m en le prenant plus grand que a.

( I 5 j > quand mi^œ) grandit, va évidemment

en croissant, et l'on sait qu'il tend vers ô""^*, donc,

Par suite,

et

11 suffit de montrer que l'on a>, à partir de m suffisamment grand,

En développant la fonction sous le signe / suivant

les puissances ascendantes de x, on trouve une série alternée; on augmente sa valeur d'abord en prenant la série des valeurs absolues, ensuite en remplaçant x par a : elle devient alors

* Il suffit de prendre m assez grand pour que

ni^ J a

ce qui est possible, puisque le premier membre a pour limite zéro.

( a4o ) SOLUTIOIVS DE QUESTIONS PROPOSÉES.

On donne quatre points quelconques sur un plan. On prend deux triangles ayant pour coté commun le segment compris entre deux de ces points et respectivement pour sommet opposé à ce côté l'un des deux autres points donnés. Chacun de ces triangles donne lieu à une droite qui joint les pieds des hauteurs issues des extrémités du côté commun. Par le point de rencontre des deux droites ainsi obtenues et par le milieu du côté commun^ on mène une droite : les six droites, qu'on construit ainsi en changeant le côté commun, passent par un même point.

{Canon.)

SOLUTION Par M. Parrod.

Les six droites sont les six axes radicaux relatifs aux quatre cercles des neuf points des quatre triangles dont les sommets sont les quatre points donnés; ces cercles ayant un point commun les droites pas^^ent par ce point.